恒等的的置換群英文解釋翻譯、恒等的的置換群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 identical permutation group

分詞翻譯：

恒的英語翻譯：

constant; lasting; permanent; usual

等的英語翻譯：

class; grade; rank; wait; when
【機】 iso-

置換群的英語翻譯：

【計】 permutation group
【化】 permutation group; symmetric group

專業解析

在數學的群論領域中，“恒等的置換群”這一術語可以從漢英詞典角度拆解和解釋如下：

術語構成與英譯
- 恒等的 (Héngděng de)：英文對應Identical。在數學語境下，特指“恒等元素”或“恒等映射/置換”。
- 置換群 (Zhìhuàn qún)：英文對應Permutation Group。指一個由置換（即集合到自身的雙射）構成的群，其群運算是置換的複合。
- 整體術語： “恒等的置換群”并非一個獨立的數學名詞。其核心概念是“置換群”，而“恒等的”強調該群必然包含一個特定的元素——恒等置換。
核心概念解釋
- 置換 (Permutation)：指一個有限集合 $S$（例如 ${1, 2, 3, dots, n}$）到其自身的一個雙射（一一對應）函數。它描述了集合元素的一種重新排列方式。
- 恒等置換 (Identity Permutation)：這是置換群中最特殊的置換，通常記為 $e$ 或 $id$。其作用是将集合中的每個元素映射到自身。例如，對于集合 ${1, 2, 3}$，恒等置換表示為： $$ e = begin{pmatrix} 1 & 2 & 31 & 2 & 3 end{pmatrix} $$
- 置換群 (Permutation Group)：指一個由某個集合 $S$ 上若幹置換構成的集合 $G$，滿足以下群公理：
  - 封閉性：對任意 $sigma, tau in G$，它們的複合 $sigma circ tau$ 也屬于 $G$。
  - 結合律： $(sigma circ tau) circ rho = sigma circ (tau circ rho)$ 對所有 $sigma, tau, rho in G$ 成立（置換複合天然滿足結合律）。
  - 恒等元存在：存在一個恒等置換 $e in G$，使得對任意 $sigma in G$，有 $e circ sigma = sigma circ e = sigma$。這正是“恒等的”所指的核心——置換群必須包含恒等置換作為其單位元。
  - 逆元存在：對任意 $sigma in G$，存在一個逆置換 $sigma^{-1} in G$，使得 $sigma circ sigma^{-1} = sigma^{-1} circ sigma = e$。
“恒等的”在置換群中的意義
- 必要性：根據群的定義，任何群都必須包含一個唯一的單位元（恒等元）。對于置換群而言，這個單位元就是恒等置換 $e$。沒有恒等置換的置換集合無法構成群。
- 作用：恒等置換在群運算（置換複合）中扮演着“不改變任何元素”的角色。它是群結構的基石，保證了每個元素都有逆元（與逆元複合得到恒等置換），并且是群運算的起點。
- 對稱性：恒等置換代表了集合元素最平凡的排列方式，即“不做任何改變”。它是所有對稱操作中最基本的對稱性。

“恒等的置換群”這一表述的核心在于理解“置換群”本身。一個置換群是由某個集合上的置換構成的群，其群運算是置換的複合。“恒等的”并非修飾整個群類型，而是強調這類群必然包含一個不可或缺的元素——恒等置換。恒等置換是置換群的單位元，是群結構定義的内在要求，它代表了“不進行任何置換”的操作。因此，在數學上，當我們談論置換群時，就已經隱含了它包含恒等置換這一事實。

網絡擴展解釋

“恒等的置換群”這一表述可能存在歧義或打字錯誤。結合數學中的群論概念，以下是兩種可能的解釋及詳細說明：

1.置換群中的恒等元素

置換群（Permutation Group）是指由非空集合上所有雙射置換（即元素的重排方式）構成的群，運算為置換的複合。例如，集合 ( {1,2,ldots,n} ) 上的所有置換構成對稱群 ( S_n )。
恒等置換（Identity Permutation）是置換群中的單位元，它将每個元素映射到自身，通常記為 ( e ) 或 ( text{id} )。

性質：
- 每個置換群都必然包含恒等置換。
- 任何置換與恒等置換複合後保持不變，即 ( sigma circ e = e circ sigma = sigma )。

2.僅含恒等置換的平凡群

若“恒等的置換群”指僅包含恒等置換的群，則它是一個平凡群（Trivial Group），即僅含單位元的群：

結構：群中隻有恒等置換 ( e )，滿足 ( e circ e = e )。
階：群的階為 1，是最簡單的群結構。

置換群的典型例子

對稱群 ( S_n )
- 包含 ( n ) 個元素的所有置換，共有 ( n! ) 個元素。
- 恒等置換是其中的單位元。
循環群
- 由單個置換的幂次生成的子群，例如 ( langle (1,2,3) rangle ) 包含恒等置換和循環置換 ( (1,2,3)、(1,3,2) )。

關鍵區别

置換群通常指包含多個置換的群（如 ( S_n )），而恒等置換是這類群的必備元素。
單獨由恒等置換構成的群是平凡群，但一般不稱為“置換群”，因為置換群默認包含更豐富的結構。

如果需要進一步區分具體含義，建議結合上下文或修正術語後探讨。