恒等的的置换群英文解释翻译、恒等的的置换群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 identical permutation group

分词翻译：

恒的英语翻译：

constant; lasting; permanent; usual

等的英语翻译：

class; grade; rank; wait; when
【机】 iso-

置换群的英语翻译：

【计】 permutation group
【化】 permutation group; symmetric group

专业解析

在数学的群论领域中，“恒等的置换群”这一术语可以从汉英词典角度拆解和解释如下：

术语构成与英译
- 恒等的 (Héngděng de)：英文对应Identical。在数学语境下，特指“恒等元素”或“恒等映射/置换”。
- 置换群 (Zhìhuàn qún)：英文对应Permutation Group。指一个由置换（即集合到自身的双射）构成的群，其群运算是置换的复合。
- 整体术语： “恒等的置换群”并非一个独立的数学名词。其核心概念是“置换群”，而“恒等的”强调该群必然包含一个特定的元素——恒等置换。
核心概念解释
- 置换 (Permutation)：指一个有限集合 $S$（例如 ${1, 2, 3, dots, n}$）到其自身的一个双射（一一对应）函数。它描述了集合元素的一种重新排列方式。
- 恒等置换 (Identity Permutation)：这是置换群中最特殊的置换，通常记为 $e$ 或 $id$。其作用是将集合中的每个元素映射到自身。例如，对于集合 ${1, 2, 3}$，恒等置换表示为： $$ e = begin{pmatrix} 1 & 2 & 31 & 2 & 3 end{pmatrix} $$
- 置换群 (Permutation Group)：指一个由某个集合 $S$ 上若干置换构成的集合 $G$，满足以下群公理：
  - 封闭性：对任意 $sigma, tau in G$，它们的复合 $sigma circ tau$ 也属于 $G$。
  - 结合律： $(sigma circ tau) circ rho = sigma circ (tau circ rho)$ 对所有 $sigma, tau, rho in G$ 成立（置换复合天然满足结合律）。
  - 恒等元存在：存在一个恒等置换 $e in G$，使得对任意 $sigma in G$，有 $e circ sigma = sigma circ e = sigma$。这正是“恒等的”所指的核心——置换群必须包含恒等置换作为其单位元。
  - 逆元存在：对任意 $sigma in G$，存在一个逆置换 $sigma^{-1} in G$，使得 $sigma circ sigma^{-1} = sigma^{-1} circ sigma = e$。
“恒等的”在置换群中的意义
- 必要性：根据群的定义，任何群都必须包含一个唯一的单位元（恒等元）。对于置换群而言，这个单位元就是恒等置换 $e$。没有恒等置换的置换集合无法构成群。
- 作用：恒等置换在群运算（置换复合）中扮演着“不改变任何元素”的角色。它是群结构的基石，保证了每个元素都有逆元（与逆元复合得到恒等置换），并且是群运算的起点。
- 对称性：恒等置换代表了集合元素最平凡的排列方式，即“不做任何改变”。它是所有对称操作中最基本的对称性。

“恒等的置换群”这一表述的核心在于理解“置换群”本身。一个置换群是由某个集合上的置换构成的群，其群运算是置换的复合。“恒等的”并非修饰整个群类型，而是强调这类群必然包含一个不可或缺的元素——恒等置换。恒等置换是置换群的单位元，是群结构定义的内在要求，它代表了“不进行任何置换”的操作。因此，在数学上，当我们谈论置换群时，就已经隐含了它包含恒等置换这一事实。

网络扩展解释

“恒等的置换群”这一表述可能存在歧义或打字错误。结合数学中的群论概念，以下是两种可能的解释及详细说明：

1.置换群中的恒等元素

置换群（Permutation Group）是指由非空集合上所有双射置换（即元素的重排方式）构成的群，运算为置换的复合。例如，集合 ( {1,2,ldots,n} ) 上的所有置换构成对称群 ( S_n )。
恒等置换（Identity Permutation）是置换群中的单位元，它将每个元素映射到自身，通常记为 ( e ) 或 ( text{id} )。

性质：
- 每个置换群都必然包含恒等置换。
- 任何置换与恒等置换复合后保持不变，即 ( sigma circ e = e circ sigma = sigma )。

2.仅含恒等置换的平凡群

若“恒等的置换群”指仅包含恒等置换的群，则它是一个平凡群（Trivial Group），即仅含单位元的群：

结构：群中只有恒等置换 ( e )，满足 ( e circ e = e )。
阶：群的阶为 1，是最简单的群结构。

置换群的典型例子

对称群 ( S_n )
- 包含 ( n ) 个元素的所有置换，共有 ( n! ) 个元素。
- 恒等置换是其中的单位元。
循环群
- 由单个置换的幂次生成的子群，例如 ( langle (1,2,3) rangle ) 包含恒等置换和循环置换 ( (1,2,3)、(1,3,2) )。

关键区别

置换群通常指包含多个置换的群（如 ( S_n )），而恒等置换是这类群的必备元素。
单独由恒等置换构成的群是平凡群，但一般不称为“置换群”，因为置换群默认包含更丰富的结构。

如果需要进一步区分具体含义，建议结合上下文或修正术语后探讨。