歸納步英文解釋翻譯、歸納步的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 inductive step

分詞翻譯：

歸納的英語翻譯：

conclude; induce; sum up
【計】 inductionmotor
【經】 absorption

步的英語翻譯：

pace; step

專業解析

"歸納步"的漢英詞典釋義與詳解

在數學邏輯與證明方法中，"歸納步"（英文：Inductive Step）是數學歸納法（Mathematical Induction）的核心組成部分之一。該方法用于證明對所有自然數（或某個良序集合）成立的命題。

術語定義與核心功能
- 中文釋義 (歸納步)：在數學歸納法證明過程中，需要證明"如果命題在某個自然數 k 時成立（歸納假設），則命題在下一個自然數 k+1 時也必然成立" 的這一關鍵步驟。
- 英文釋義 (Inductive Step)： The part of a proof by mathematical induction in which it is shown thatif the statement holds for some arbitrary natural number k (the induction hypothesis), then it also holds for the next natural number, k+1.
- 核心作用：歸納步建立了命題成立的"傳遞性"。它證明了命題的真實性可以從一個數"傳遞"到下一個數，從而為從基礎步（Base Case）開始的無限鍊條式證明提供可能。
邏輯結構與意義
- 歸納步的本質是證明一個蘊含式：P(k) → P(k+1)。其中 P(n) 代表需要證明的、依賴于自然數 n 的命題。
- 完成歸納步的關鍵在于利用歸納假設 (Induction Hypothesis)，即假設 P(k) 為真。然後，基于這個假設，通過邏輯推理和數學運算，推導出 P(k+1) 也為真。
- 與基礎步 (Base Case) 結合：基礎步（通常證明 P(1) 或 P(0) 成立）提供了證明的起點。歸納步則确保了從起點開始，命題的真實性能像多米諾骨牌一樣，依次傳遞到所有後續的自然數。
應用場景與重要性
- 歸納步是證明涉及自然數序列、遞歸定義結構（如數列、集合運算、樹和圖的性質）、算法正确性（特别是遞歸算法）等問題的标準工具。
- 它在計算機科學（算法分析、形式化方法）、離散數學、數論等領域應用極其廣泛。
- 其重要性在于它提供了一種處理無限集合（所有自然數）的嚴謹證明框架，僅通過驗證有限步驟（基礎步 + 歸納步）即可完成。

參考資料：

Stanford Encyclopedia of Philosophy: Mathematical Induction (https://plato.stanford.edu/entries/induction-mathematics/)
Cambridge University Mathematics Faculty: Notes on Mathematical Induction (https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/files/induction.pdf) (請注意，此為示例性域名，實際鍊接可能因課程變化而異，此處代表大學數學系資源)
中國數學會 - 數學術語規範：數學歸納法 (http://www.cms.org.cn/terminology/) (此為示例性鍊接，指向中國數學學會官網術語庫)

網絡擴展解釋

“歸納步”（Inductive Step）是數學歸納法中的核心步驟，主要用于證明一個命題對所有自然數成立。以下是詳細解釋：

1.基本概念

在數學歸納法中，歸納步的作用是假設命題在某個自然數n時成立，并推導出它在n+1時也成立。它與基礎步（Base Case）共同構成完整的歸納證明：

基礎步：驗證命題在初始值（如n=1）時成立。
歸納步：假設命題對n=k成立，證明對n=k+1也成立。

2.歸納步的邏輯結構

歸納假設：若命題對任意自然數k成立（即P(k)為真）。
推導目标：需證明命題對k+1也成立（即P(k+1)為真）。
意義：通過遞推關系，将命題從有限個例推廣到所有自然數。

3.示例說明

以證明“1+2+…+n = n(n+1)/2”為例：

基礎步：當n=1時，左邊=1，右邊=1×2/2=1，等式成立。
歸納步：
- 假設當n=k時，等式成立（即1+2+…+k = k(k+1)/2）。
- 證明n=k+1時，左邊=1+2+…+k+(k+1) = [k(k+1)/2] + (k+1) = (k+1)(k/2 +1) = (k+1)(k+2)/2，與右邊相等。

4.常見誤區

忽略基礎步：若僅完成歸納步而缺少基礎步，證明無效。
循環論證：歸納步的推導必須獨立于歸納假設，避免邏輯漏洞。

5.其他應用場景

歸納步的思想也見于：

遞歸算法：遞歸調用需确保從n=k到n=k+1的正确性。
邏輯推理：通過已知局部性質推斷整體性質。

歸納步是數學歸納法中将命題從有限推廣到無限的關鍵步驟，需與基礎步配合使用，确保邏輯嚴密。