規格正交性英文解釋翻譯、規格正交性的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 orthonormality

分詞翻譯：

規格的英語翻譯：

norms; spec.; specification; specs; standard; standards
【計】 etalon
【化】 specification
【醫】 norm; qualification; specification; standard

正交的英語翻譯：

【計】 quadrature
【醫】 orthogonality

專業解析

規格正交性（Orthonormality）是線性代數與數學物理中的核心概念，指一組向量同時滿足“正交性”和“單位長度規格化”兩個條件。其英文術語“orthonormality”由“orthogonal”（正交）和“normalized”（規格化）複合構成，體現了向量間既垂直又标準化的特性。

1. 數學定義

對于向量空間中的一組向量${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$，若滿足： $$ langle mathbf{v}_i, mathbf{v}_j rangle = begin{cases} 0 & text{若 } i eq j 1 & text{若 } i = j end{cases} $$ 則稱該向量組具有規格正交性。這裡$langle cdot, cdot rangle$表示内積運算。例如，三維歐幾裡得空間的标準基向量$mathbf{e}_x=(1,0,0)$、$mathbf{e}_y=(0,1,0)$、$mathbf{e}_z=(0,0,1)$即構成規格正交基。

2. 應用領域

信號處理：傅裡葉變換中的正弦/餘弦基函數構成規格正交系，用于信號分解。
量子力學：量子态在希爾伯特空間中的表示依賴于規格正交基向量。
數據壓縮：主成分分析（PCA）利用規格正交基進行降維。

3. 重要性

規格正交性通過Gram-Schmidt正交化過程可實現任意線性無關向量組的标準化轉換。其核心優勢在于簡化計算：正交性消除冗餘信息，規格化消除尺度影響，使得投影、坐标變換等運算更高效。

參考來源

Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications (Cengage Learning)
MathWorld, "Orthonormal Basis" (https://mathworld.wolfram.com/)
MIT OpenCourseWare, "Gram-Schmidt Orthogonalization" (https://ocw.mit.edu/)

網絡擴展解釋

規格正交性（Orthonormality）是數學和物理學中的重要概念，指一組向量或函數同時滿足正交性和規範性兩個條件。以下是詳細解釋：

1.正交性（Orthogonality）

定義：兩個向量（或函數）在給定内積空間中，若其内積為零，則稱為正交。
- 向量示例：在三維空間中，向量$mathbf{a}$與$mathbf{b}$正交的數學表示為 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
- 函數示例：函數$f(x)$和$g(x)$在區間$[a,b]$上正交的條件為 $int_a^b f(x)g(x)dx = 0$ 。
幾何意義：正交性可理解為“垂直”或“互不依賴”。例如，三維坐标系的x、y、z軸互相垂直，且任一軸的移動不會影響其他軸的投影位置。

2.規範性（Normalization）

定義：單個向量（或函數）的範數（長度）為1，即滿足 $|mathbf{v}| = sqrt{mathbf{v} cdot mathbf{v}} = 1$。
- 函數示例：若函數$f(x)$滿足 $int_a^b |f(x)| dx = 1$，則稱其為規範化的。

3.規格正交性（Orthonormality）

組合條件：一組向量或函數既正交（内積為零）又規範（範數為1）。
- 數學表示：
  - 對向量：$mathbf{v}_i cdot mathbf{v}_j = begin{cases} 0 & text{若 } i eq j,1 & text{若 } i = j. end{cases}$
  - 對函數：$int_a^b f_i(x)f_j(x)dx = begin{cases} 0 & text{若 } i eq j,1 & text{若 } i = j. end{cases}$ 。
典型應用：
- 正交矩陣：矩陣的列向量是規格正交的，這種矩陣的逆矩陣等于其轉置矩陣（$Q^{-1} = Q^T$），簡化了線性變換的計算。
- 量子力學：波函數的正交歸一化保證物理量測量的概率性解釋成立。
- 信號處理：傅裡葉級數中的正弦和餘弦函數構成規格正交基，便于信號分解。

4.與非正交性的對比

非正交性：向量或函數的夾角不為90度，或内積不為零，可能導緻計算複雜度增加（如求解線性方程組時需處理相關性）。
正交性的優勢：簡化投影、分解和坐标變換，例如力學中力的正交分解可獨立分析各方向分量。

規格正交性結合了正交性和規範性，是描述向量或函數組“完全獨立且标準化”的核心性質，廣泛應用于線性代數、物理學及工程領域。