规格正交性英文解释翻译、规格正交性的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 orthonormality

分词翻译：

规格的英语翻译：

norms; spec.; specification; specs; standard; standards
【计】 etalon
【化】 specification
【医】 norm; qualification; specification; standard

正交的英语翻译：

【计】 quadrature
【医】 orthogonality

专业解析

规格正交性（Orthonormality）是线性代数与数学物理中的核心概念，指一组向量同时满足“正交性”和“单位长度规格化”两个条件。其英文术语“orthonormality”由“orthogonal”（正交）和“normalized”（规格化）复合构成，体现了向量间既垂直又标准化的特性。

1. 数学定义

对于向量空间中的一组向量${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$，若满足： $$ langle mathbf{v}_i, mathbf{v}_j rangle = begin{cases} 0 & text{若 } i eq j 1 & text{若 } i = j end{cases} $$ 则称该向量组具有规格正交性。这里$langle cdot, cdot rangle$表示内积运算。例如，三维欧几里得空间的标准基向量$mathbf{e}_x=(1,0,0)$、$mathbf{e}_y=(0,1,0)$、$mathbf{e}_z=(0,0,1)$即构成规格正交基。

2. 应用领域

信号处理：傅里叶变换中的正弦/余弦基函数构成规格正交系，用于信号分解。
量子力学：量子态在希尔伯特空间中的表示依赖于规格正交基向量。
数据压缩：主成分分析（PCA）利用规格正交基进行降维。

3. 重要性

规格正交性通过Gram-Schmidt正交化过程可实现任意线性无关向量组的标准化转换。其核心优势在于简化计算：正交性消除冗余信息，规格化消除尺度影响，使得投影、坐标变换等运算更高效。

参考来源

Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications (Cengage Learning)
MathWorld, "Orthonormal Basis" (https://mathworld.wolfram.com/)
MIT OpenCourseWare, "Gram-Schmidt Orthogonalization" (https://ocw.mit.edu/)

网络扩展解释

规格正交性（Orthonormality）是数学和物理学中的重要概念，指一组向量或函数同时满足正交性和规范性两个条件。以下是详细解释：

1.正交性（Orthogonality）

定义：两个向量（或函数）在给定内积空间中，若其内积为零，则称为正交。
- 向量示例：在三维空间中，向量$mathbf{a}$与$mathbf{b}$正交的数学表示为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
- 函数示例：函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上正交的条件为 $int_a^b f(x)g(x)dx = 0$ 。
几何意义：正交性可理解为“垂直”或“互不依赖”。例如，三维坐标系的x、y、z轴互相垂直，且任一轴的移动不会影响其他轴的投影位置。

2.规范性（Normalization）

定义：单个向量（或函数）的范数（长度）为1，即满足 $|mathbf{v}| = sqrt{mathbf{v} cdot mathbf{v}} = 1$。
- 函数示例：若函数$f(x)$满足 $int_a^b |f(x)| dx = 1$，则称其为规范化的。

3.规格正交性（Orthonormality）

组合条件：一组向量或函数既正交（内积为零）又规范（范数为1）。
- 数学表示：
  - 对向量：$mathbf{v}_i cdot mathbf{v}_j = begin{cases} 0 & text{若 } i eq j,1 & text{若 } i = j. end{cases}$
  - 对函数：$int_a^b f_i(x)f_j(x)dx = begin{cases} 0 & text{若 } i eq j,1 & text{若 } i = j. end{cases}$ 。
典型应用：
- 正交矩阵：矩阵的列向量是规格正交的，这种矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵（$Q^{-1} = Q^T$），简化了线性变换的计算。
- 量子力学：波函数的正交归一化保证物理量测量的概率性解释成立。
- 信号处理：傅里叶级数中的正弦和余弦函数构成规格正交基，便于信号分解。

4.与非正交性的对比

非正交性：向量或函数的夹角不为90度，或内积不为零，可能导致计算复杂度增加（如求解线性方程组时需处理相关性）。
正交性的优势：简化投影、分解和坐标变换，例如力学中力的正交分解可独立分析各方向分量。

规格正交性结合了正交性和规范性，是描述向量或函数组“完全独立且标准化”的核心性质，广泛应用于线性代数、物理学及工程领域。