克羅内克積英文解釋翻譯、克羅内克積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 kronecker product

分詞翻譯：

克羅内克的英語翻譯：

【計】 kronecker

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

專業解析

克羅内克積（Kronecker Product）是線性代數中的一種特殊矩陣運算，廣泛應用于量子力學、信號處理和計算機科學等領域。其定義為：對于任意兩個矩陣$A in mathbb{C}^{m times n}$和$B in mathbb{C}^{p times q}$，克羅内克積$A otimes B$将生成維度為$mp times nq$的分塊矩陣，其中每個元素$a{ij}$被替換為$a{ij}B$的子矩陣。

數學表達式可表示為： $$ A otimes B = begin{bmatrix} a{11}B & cdots & a{1n}B vdots & ddots & vdots a{m1}B & cdots & a{mn}B end{bmatrix} $$

該運算具有三個關鍵特性：

雙線性性質：滿足$(A+B) otimes C = A otimes C + B otimes C$的分配律
混合乘積法則：滿足$(A otimes B)(C otimes D) = AC otimes BD$的鍊式運算規則
轉置關聯性：$(A otimes B)^T = A^T otimes B^T$

在工程實踐中，克羅内克積常用于多維信號處理中的張量分解和量子計算中的複合系統狀态描述。德國數學家Leopold Kronecker于1883年首次系統闡述該運算，其名稱來源于他在特征值理論研究中的貢獻。

主要參考文獻：

MathWorld《Kronecker Product》https://mathworld.wolfram.com/KroneckerProduct.html

Springer《Matrix Analysis for Scientists and Engineers》

IEEE《Quantum Computing Basics》論文集

《德國數學史》柏林大學出版社

網絡擴展解釋

克羅内克積（Kronecker Product）是矩陣運算中的一種特殊形式，用于将兩個矩陣組合成更大的分塊矩陣。以下是其核心要點：

1.定義

若矩陣 ( A ) 是 ( m times n ) 維，矩陣 ( B ) 是 ( p times q ) 維，則它們的克羅内克積 ( A otimes B ) 是一個 ( mp times nq ) 的分塊矩陣。具體構造方式為：将 ( A ) 的每個元素 ( a_{ij} ) 與矩陣 ( B ) 相乘，形成分塊矩陣。
例如，若 ( A = begin{bmatrix} a & bc & d end{bmatrix} )，( B = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix} )，則： $$ A otimes B = begin{bmatrix} aB & bBcB & dB end{bmatrix} $$

2.特性

雙線性與結合律：對任意矩陣 ( A, B, C ) 和标量 ( k )，滿足： $$ (kA) otimes B = A otimes (kB) = k(A otimes B) $$ $$ (A + B) otimes C = A otimes C + B otimes C $$ $$ A otimes (B + C) = A otimes B + A otimes C $$ 結合律：( (A otimes B) otimes C = A otimes (B otimes C) )。
非交換性：通常 ( A otimes B eq B otimes A )，但兩者是排列等價的。
混合乘積性質：若矩陣乘積 ( AC ) 和 ( BD ) 存在，則： $$ (A otimes B)(C otimes D) = AC otimes BD $$ 這一性質在矩陣方程求解中尤為重要。
逆矩陣與行列式：若 ( A ) 和 ( B ) 可逆，則 ( A otimes B ) 也可逆，且： $$ (A otimes B)^{-1} = A^{-1} otimes B^{-1} $$ 行列式滿足：( det(A otimes B) = det(A)^q cdot det(B)^n )（當 ( A ) 為 ( n times n )、( B ) 為 ( q times q ) 時）。

3.特征值與迹

若 ( A ) 和 ( B ) 是方陣，其特征值分别為 ( lambda_i ) 和 ( mu_j )，則 ( A otimes B ) 的特征值為 ( lambda_i mu_j )。迹和行列式滿足： $$ text{tr}(A otimes B) = text{tr}(A) cdot text{tr}(B) $$。

4.應用場景

克羅内克積廣泛應用于線性系統、量子力學和張量分析中。例如，矩陣方程 ( AXB = C ) 的解可通過克羅内克積轉化為向量形式求解。

如需進一步了解具體案例或數學推導，可參考權威數學教材或線性代數工具書。