克罗内克积英文解释翻译、克罗内克积的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 kronecker product

分词翻译：

克罗内克的英语翻译：

【计】 kronecker

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

专业解析

克罗内克积（Kronecker Product）是线性代数中的一种特殊矩阵运算，广泛应用于量子力学、信号处理和计算机科学等领域。其定义为：对于任意两个矩阵$A in mathbb{C}^{m times n}$和$B in mathbb{C}^{p times q}$，克罗内克积$A otimes B$将生成维度为$mp times nq$的分块矩阵，其中每个元素$a{ij}$被替换为$a{ij}B$的子矩阵。

数学表达式可表示为： $$ A otimes B = begin{bmatrix} a{11}B & cdots & a{1n}B vdots & ddots & vdots a{m1}B & cdots & a{mn}B end{bmatrix} $$

该运算具有三个关键特性：

双线性性质：满足$(A+B) otimes C = A otimes C + B otimes C$的分配律
混合乘积法则：满足$(A otimes B)(C otimes D) = AC otimes BD$的链式运算规则
转置关联性：$(A otimes B)^T = A^T otimes B^T$

在工程实践中，克罗内克积常用于多维信号处理中的张量分解和量子计算中的复合系统状态描述。德国数学家Leopold Kronecker于1883年首次系统阐述该运算，其名称来源于他在特征值理论研究中的贡献。

主要参考文献：

MathWorld《Kronecker Product》https://mathworld.wolfram.com/KroneckerProduct.html

Springer《Matrix Analysis for Scientists and Engineers》

IEEE《Quantum Computing Basics》论文集

《德国数学史》柏林大学出版社

网络扩展解释

克罗内克积（Kronecker Product）是矩阵运算中的一种特殊形式，用于将两个矩阵组合成更大的分块矩阵。以下是其核心要点：

1.定义

若矩阵 ( A ) 是 ( m times n ) 维，矩阵 ( B ) 是 ( p times q ) 维，则它们的克罗内克积 ( A otimes B ) 是一个 ( mp times nq ) 的分块矩阵。具体构造方式为：将 ( A ) 的每个元素 ( a_{ij} ) 与矩阵 ( B ) 相乘，形成分块矩阵。
例如，若 ( A = begin{bmatrix} a & bc & d end{bmatrix} )，( B = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix} )，则： $$ A otimes B = begin{bmatrix} aB & bBcB & dB end{bmatrix} $$

2.特性

双线性与结合律：对任意矩阵 ( A, B, C ) 和标量 ( k )，满足： $$ (kA) otimes B = A otimes (kB) = k(A otimes B) $$ $$ (A + B) otimes C = A otimes C + B otimes C $$ $$ A otimes (B + C) = A otimes B + A otimes C $$ 结合律：( (A otimes B) otimes C = A otimes (B otimes C) )。
非交换性：通常 ( A otimes B eq B otimes A )，但两者是排列等价的。
混合乘积性质：若矩阵乘积 ( AC ) 和 ( BD ) 存在，则： $$ (A otimes B)(C otimes D) = AC otimes BD $$ 这一性质在矩阵方程求解中尤为重要。
逆矩阵与行列式：若 ( A ) 和 ( B ) 可逆，则 ( A otimes B ) 也可逆，且： $$ (A otimes B)^{-1} = A^{-1} otimes B^{-1} $$ 行列式满足：( det(A otimes B) = det(A)^q cdot det(B)^n )（当 ( A ) 为 ( n times n )、( B ) 为 ( q times q ) 时）。

3.特征值与迹

若 ( A ) 和 ( B ) 是方阵，其特征值分别为 ( lambda_i ) 和 ( mu_j )，则 ( A otimes B ) 的特征值为 ( lambda_i mu_j )。迹和行列式满足： $$ text{tr}(A otimes B) = text{tr}(A) cdot text{tr}(B) $$。

4.应用场景

克罗内克积广泛应用于线性系统、量子力学和张量分析中。例如，矩阵方程 ( AXB = C ) 的解可通过克罗内克积转化为向量形式求解。

如需进一步了解具体案例或数学推导，可参考权威数学教材或线性代数工具书。