标量函數英文解釋翻譯、标量函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 scalar function

分詞翻譯：

标量的英語翻譯：

scalar quantity
【計】 S; scalar; scalar quantity; scaler quantity
【化】 scalar

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學和物理學中，标量函數（Scalar Function）指輸出值為标量（Scalar）的函數。其核心特征及漢英對照定義如下：

一、定義與核心特征

輸入與輸出關系
标量函數将一個或多個輸入變量映射到單個實數輸出值。例如，三維空間中的溫度分布函數 ( T(x,y,z) ) 将坐标點映射為溫度值（實數）。

英文對照：A scalar function maps one or more input variables to a single real number output.
與向量函數的區别
區别于輸出為向量的函數（如速度場 (vec{v}(x,y,z)))，标量函數的輸出無方向性，僅由大小描述。

英文對照：Unlike vector-valued functions, scalar functions lack directional components.
常見數學形式
在多元微積分中，标量函數通常表示為 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} )，例如：

$$ f(x_1, x_2, dots, x_n) = c quad (c in mathbb{R}) $$

二、典型應用場景

物理學中的場論
- 電勢場：靜電場中電勢 (phi(x,y,z)) 是空間坐标的标量函數（來源：Griffiths, Introduction to Electrodynamics）。
- 溫度場：熱力學系統中溫度分布 ( T(mathbf{r}) ) 是标量場函數（來源：Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics）。
優化問題中的目标函數
機器學習中的損失函數 ( L(theta) )（如均方誤差）是參數 (theta) 的标量函數，需通過梯度下降法優化（來源：Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning）。
工程中的性能指标
結構力學中的應力強度 ( sigma(mathbf{x}) )、流體動力學中的壓力場 ( p(mathbf{x}) ) 均為标量函數（來源：Timoshenko, Theory of Elasticity）。

三、權威定義參考

《數學名詞》（中國科學院）
定義标量函數為“輸出值為标量的函數”，強調其與向量函數的對立性（來源：全國科學技術名詞審定委員會）。
Wolfram MathWorld
"A function that returns a single real number for each point in its domain."

（來源：Scalar Function - Wolfram MathWorld）
劍橋大學數學詞典
"Scalar-valued functions produce real numbers, while vector-valued functions produce vectors."

（來源：Cambridge Mathematics Dictionary）

四、數學表達示例

考慮定義在三維空間的标量函數：

$$ f(x,y,z) = x + sin(y) + e^z $$

其梯度 ( abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right)) 為向量，印證了标量函數可通過微分轉化為向量場。

網絡擴展解釋

标量函數是數學和計算機科學中的基礎概念，其核心特征為輸入一個或多個變量，輸出單個标量值（即單個數值或單一數據）。具體解釋如下：

一、數學中的标量函數

在數學中，标量函數指從向量空間、多維空間或參數集合映射到實數域（$mathbb{R}$）的函數。例如：

單變量标量函數：$f(x) = x$，輸入一個實數，輸出平方值；
多變量标量函數：$f(x,y) = x + y$，輸入兩個變量，輸出它們的平方和；
向量輸入标量函數：若$mathbf{v} = [v_1, v_2, dots, v_n]$，則$f(mathbf{v}) = |mathbf{v}|$（向量的模長）。

典型應用包括物理中的勢能場、溫度分布場等，輸出均為單一數值。

二、計算機科學中的标量函數

在編程和數據庫中，标量函數指處理單個數據項并返回單個結果的操作：

數據庫函數：如SQL中的UPPER('text')（返回大寫字符串）、ABS(-5)（返回絕對值5）；
編程語言函數：如Python的len()（返回列表長度3），或數學庫中的math.sin(0)（返回0）。

這類函數通常用于數據轉換、計算或簡化操作。

三、與向量函數的區别

标量函數與向量函數的核心差異在于輸出類型：

标量函數：輸出為單個值（如溫度值、長度）；
向量函數：輸出為向量或矩陣（如速度場$mathbf{F}(x,y) = [f_1, f_2]$）。

四、應用場景

優化問題：目标函數（如損失函數）需輸出标量以衡量優化效果；
物理建模：勢能、壓力等物理量常表示為标量場；
數據處理：數據庫查詢時對字段進行格式化或計算（如日期轉換、數值取整）。

通過上述特性，标量函數成為跨領域問題分析的基礎工具。