極值判據英文解釋翻譯、極值判據的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 extreme-value criterion

分詞翻譯：

極值的英語翻譯：

extreme value; extremum
【化】 extreme value; extremum value

判據的英語翻譯：

criterion
【化】 criterion

專業解析

極值判據 (jízhí pànjù)，英文通常譯為Extremum Criterion 或Criterion for Extrema，是數學（特别是微積分和優化理論）中的一個核心概念。它指用于判斷函數在某點是否取得極大值或極小值的規則、條件或測試方法。其核心在于通過分析函數在該點及其鄰域的性質（如一階導數、二階導數等）來确定該點是峰值（極大值）、谷值（極小值）還是其他類型的臨界點。

以下是詳細解釋：

核心目的與定義 (Core Purpose & Definition)
- 在函數圖像上，極大值點是局部最高點，極小值點是局部最低點。極值判據就是一套系統的方法，用于識别這些點。
- 它建立在臨界點 (Critical Point) 概念之上。臨界點是函數一階導數 ( f'(x) ) 為零或未定義的點。極值判據的首要任務是區分哪些臨界點對應真正的極大值或極小值，哪些不是（如鞍點）。
主要判據類型 (Main Types of Criteria)
- 一階導數判據 (First Derivative Test / Criterion):
  - 原理: 考察臨界點左右兩側一階導數 ( f'(x) ) 的符號變化。
  - 判斷規則:
    - 若 ( f'(x) ) 在臨界點左側由正變負，則該點為局部極大值 (Local Maximum)。
    - 若 ( f'(x) ) 在臨界點左側由負變正，則該點為局部極小值 (Local Minimum)。
    - 若 ( f'(x) ) 在臨界點兩側符號不變，則該點不是極值點（可能是鞍點）。
  - 直觀理解: 反映了函數在臨界點附近是“由增轉減”（極大值）還是“由減轉增”（極小值）。
- 二階導數判據 (Second Derivative Test / Criterion):
  - 原理: 在臨界點處計算函數的二階導數 ( f''(x) )。
  - 判斷規則:
    - 若 ( f''(x) > 0 )，則該點為局部極小值 (Local Minimum)（函數圖像在該點附近是凹向上的）。
    - 若 ( f''(x) < 0 )，則該點為局部極大值 (Local Maximum)（函數圖像在該點附近是凹向下的）。
    - 若 ( f''(x) = 0 )，則判據失效，無法确定，需使用一階導數判據或其他方法進一步判斷。
  - 優點: 計算相對簡便（隻需在一點計算二階導數）。
  - 局限性: 當二階導數為零時無法提供結論。
應用場景 (Applications)
- 優化問題 (Optimization Problems): 尋找函數的最大值或最小值（如成本最小化、利潤最大化、路徑最短等）是極值判據最直接的應用。找到所有臨界點并用判據篩選出極值點是關鍵步驟。
- 曲線描繪 (Curve Sketching): 分析函數的增減性、凹凸性、極值點等是描繪函數圖像的基礎。
- 物理與工程 (Physics & Engineering): 在力學中尋找勢能極小值（穩定平衡點）、在控制論中尋找最優控制點等。
- 經濟學 (Economics): 尋找效用最大化、成本最小化的點。

“極值判據”是數學分析中用于識别函數局部最大值和最小值位置的一套判别規則。最常用的是基于導數符號變化的一階導數判據和基于二階導數符號的二階導數判據。它們是解決優化問題和理解函數局部行為的重要工具。

注：由于未搜索到可直接引用的權威線上漢英詞典或數學百科頁面（如牛津高階、韋氏詞典、Wolfram MathWorld、Wikipedia中文版等）包含該術語的詳細獨立詞條解釋，此處内容基于數學領域廣泛認可的标準定義和教材知識進行撰寫，以确保專業性和準确性。建議查閱權威微積分或數學分析教材（如《托馬斯微積分》、《吉米多維奇數學分析習題集》相關章節）獲取最嚴謹的論述。

網絡擴展解釋

極值判據是數學中用于判斷函數是否存在極大值或極小值的一系列條件和規則，主要分為必要條件和充分條件。以下是詳細解釋：

一、極值的定義

極值指函數在某鄰域内的局部最大值（極大值）或最小值（極小值）。若存在 $delta>0$，使得對于所有 $x in (x_0-delta, x_0+delta)$，滿足 $f(x) leq f(x_0)$（或 $f(x) geq f(x_0)$），則稱 $f(x_0)$ 為極大值（或極小值）。

二、一元函數的極值判據

必要條件
若函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處可導且取得極值，則 $f'(x_0)=0$（稱為駐點）。
第一充分條件
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 處連續且其鄰域内導數符號變化滿足：
- 極大值：左側導數為正，右側導數為負；
- 極小值：左側導數為負，右側導數為正。
第二充分條件
若 $f'(x_0)=0$ 且二階導數 $f''(x_0) eq 0$：
- 當 $f''(x_0)<0$ 時，$x_0$ 為極大值點；
- 當 $f''(x_0)>0$ 時，$x_0$ 為極小值點。
第三充分條件（高階導數判據）
若前 $n-1$ 階導數為零，第 $n$ 階導數非零：
- 當 $n$ 為偶數時，$x_0$ 是極值點（根據導數符號判斷極大/極小）；
- 當 $n$ 為奇數時，$x_0$ 不是極值點。

三、多元函數的極值判據

必要條件
若函數 $f(x_1,x_2,dots,x_n)$ 在點 $P$ 處存在極值且可導，則所有一階偏導數在該點均為零。
充分條件（Hessian矩陣判據）
- 計算 Hessian 矩陣 $H$（二階偏導數矩陣）；
- 若 $H$ 在駐點處正定，則該點為極小值；
- 若 $H$負定，則為極大值；
- 若 $H$ 不定，則無極值。
條件極值（拉格朗日乘數法）
當存在約束條件時，引入拉格朗日乘數 $lambda$，通過聯立方程組求解極值點。

四、應用領域

極值判據在數學優化、經濟學（如成本最小化）、物理學（能量最低原理）及股票分析（價格波動預測）中均有廣泛應用。

如需更完整的定義或案例，可參考數學分析教材或權威學術文獻。