极值判据英文解释翻译、极值判据的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 extreme-value criterion

分词翻译：

极值的英语翻译：

extreme value; extremum
【化】 extreme value; extremum value

判据的英语翻译：

criterion
【化】 criterion

专业解析

极值判据 (jízhí pànjù)，英文通常译为Extremum Criterion 或Criterion for Extrema，是数学（特别是微积分和优化理论）中的一个核心概念。它指用于判断函数在某点是否取得极大值或极小值的规则、条件或测试方法。其核心在于通过分析函数在该点及其邻域的性质（如一阶导数、二阶导数等）来确定该点是峰值（极大值）、谷值（极小值）还是其他类型的临界点。

以下是详细解释：

核心目的与定义 (Core Purpose & Definition)
- 在函数图像上，极大值点是局部最高点，极小值点是局部最低点。极值判据就是一套系统的方法，用于识别这些点。
- 它建立在临界点 (Critical Point) 概念之上。临界点是函数一阶导数 ( f'(x) ) 为零或未定义的点。极值判据的首要任务是区分哪些临界点对应真正的极大值或极小值，哪些不是（如鞍点）。
主要判据类型 (Main Types of Criteria)
- 一阶导数判据 (First Derivative Test / Criterion):
  - 原理: 考察临界点左右两侧一阶导数 ( f'(x) ) 的符号变化。
  - 判断规则:
    - 若 ( f'(x) ) 在临界点左侧由正变负，则该点为局部极大值 (Local Maximum)。
    - 若 ( f'(x) ) 在临界点左侧由负变正，则该点为局部极小值 (Local Minimum)。
    - 若 ( f'(x) ) 在临界点两侧符号不变，则该点不是极值点（可能是鞍点）。
  - 直观理解: 反映了函数在临界点附近是“由增转减”（极大值）还是“由减转增”（极小值）。
- 二阶导数判据 (Second Derivative Test / Criterion):
  - 原理: 在临界点处计算函数的二阶导数 ( f''(x) )。
  - 判断规则:
    - 若 ( f''(x) > 0 )，则该点为局部极小值 (Local Minimum)（函数图像在该点附近是凹向上的）。
    - 若 ( f''(x) < 0 )，则该点为局部极大值 (Local Maximum)（函数图像在该点附近是凹向下的）。
    - 若 ( f''(x) = 0 )，则判据失效，无法确定，需使用一阶导数判据或其他方法进一步判断。
  - 优点: 计算相对简便（只需在一点计算二阶导数）。
  - 局限性: 当二阶导数为零时无法提供结论。
应用场景 (Applications)
- 优化问题 (Optimization Problems): 寻找函数的最大值或最小值（如成本最小化、利润最大化、路径最短等）是极值判据最直接的应用。找到所有临界点并用判据筛选出极值点是关键步骤。
- 曲线描绘 (Curve Sketching): 分析函数的增减性、凹凸性、极值点等是描绘函数图像的基础。
- 物理与工程 (Physics & Engineering): 在力学中寻找势能极小值（稳定平衡点）、在控制论中寻找最优控制点等。
- 经济学 (Economics): 寻找效用最大化、成本最小化的点。

“极值判据”是数学分析中用于识别函数局部最大值和最小值位置的一套判别规则。最常用的是基于导数符号变化的一阶导数判据和基于二阶导数符号的二阶导数判据。它们是解决优化问题和理解函数局部行为的重要工具。

注：由于未搜索到可直接引用的权威在线汉英词典或数学百科页面（如牛津高阶、韦氏词典、Wolfram MathWorld、Wikipedia中文版等）包含该术语的详细独立词条解释，此处内容基于数学领域广泛认可的标准定义和教材知识进行撰写，以确保专业性和准确性。建议查阅权威微积分或数学分析教材（如《托马斯微积分》、《吉米多维奇数学分析习题集》相关章节）获取最严谨的论述。

网络扩展解释

极值判据是数学中用于判断函数是否存在极大值或极小值的一系列条件和规则，主要分为必要条件和充分条件。以下是详细解释：

一、极值的定义

极值指函数在某邻域内的局部最大值（极大值）或最小值（极小值）。若存在 $delta>0$，使得对于所有 $x in (x_0-delta, x_0+delta)$，满足 $f(x) leq f(x_0)$（或 $f(x) geq f(x_0)$），则称 $f(x_0)$ 为极大值（或极小值）。

二、一元函数的极值判据

必要条件
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0)=0$（称为驻点）。
第一充分条件
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续且其邻域内导数符号变化满足：
- 极大值：左侧导数为正，右侧导数为负；
- 极小值：左侧导数为负，右侧导数为正。
第二充分条件
若 $f'(x_0)=0$ 且二阶导数 $f''(x_0) eq 0$：
- 当 $f''(x_0)<0$ 时，$x_0$ 为极大值点；
- 当 $f''(x_0)>0$ 时，$x_0$ 为极小值点。
第三充分条件（高阶导数判据）
若前 $n-1$ 阶导数为零，第 $n$ 阶导数非零：
- 当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 是极值点（根据导数符号判断极大/极小）；
- 当 $n$ 为奇数时，$x_0$ 不是极值点。

三、多元函数的极值判据

必要条件
若函数 $f(x_1,x_2,dots,x_n)$ 在点 $P$ 处存在极值且可导，则所有一阶偏导数在该点均为零。
充分条件（Hessian矩阵判据）
- 计算 Hessian 矩阵 $H$（二阶偏导数矩阵）；
- 若 $H$ 在驻点处正定，则该点为极小值；
- 若 $H$负定，则为极大值；
- 若 $H$ 不定，则无极值。
条件极值（拉格朗日乘数法）
当存在约束条件时，引入拉格朗日乘数 $lambda$，通过联立方程组求解极值点。

四、应用领域

极值判据在数学优化、经济学（如成本最小化）、物理学（能量最低原理）及股票分析（价格波动预测）中均有广泛应用。

如需更完整的定义或案例，可参考数学分析教材或权威学术文献。