聯合密度函數英文解釋翻譯、聯合密度函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 joint density function

分詞翻譯：

聯合的英語翻譯：

unite; ally; connect; link; associate; band; joint; combination; federation
linkage; union; alliance
【計】 uniting
【化】 union
【醫】 association; coadunation; coadunition; symphysis; syndesis; union
【經】 associate; coalition; combination; consolidate; consortium; fusion
union

密度函數的英語翻譯：

【計】 density function
【化】 density function; frequency function
【經】 density function

專業解析

在概率論與統計學中，聯合密度函數（Joint Density Function）是描述多個隨機變量共同概率分布的核心工具。其英文對應術語為Joint Probability Density Function (Joint PDF)，主要用于刻畫兩個或以上連續型隨機變量的聯合概率特性。

一、定義與數學表達

對于連續型隨機變量(X)和(Y)，其聯合密度函數(f_{X,Y}(x,y))需滿足以下條件：

非負性：(f_{X,Y}(x,y) geq 0)對所有(x,y)成立；
歸一性：積分滿足$$int{-infty}^{infty} int{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,y) , dx , dy = 1$$
該函數可用于計算區域(D)内的聯合概率：$$P((X,Y) in D) = iintD f{X,Y}(x,y) , dx , dy$$

二、性質與應用

邊緣密度函數：通過積分可推導單個變量的概率密度，例如(fX(x) = int{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,y) , dy；
獨立性：若變量獨立，則(f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) cdot f_Y(y)；
條件概率：給定(Y=y)時，(X)的條件密度為(f{X|Y}(x|y) = frac{f{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)})（假設(f_Y(y) > 0)）。

三、典型應用場景

聯合密度函數在多元統計分析、信號處理（如噪聲建模）及金融風險建模（如資産價格聯合波動）中均有廣泛應用。

參考文獻

《概率論與數理統計》（高等教育出版社，第5版）
MIT OpenCourseWare, "Multivariable Calculus"
Khan Academy, "Probability and Statistics"
Wolfram MathWorld, "Joint Distribution Function"
Stanford University, "Applied Probability for Engineers"

網絡擴展解釋

聯合密度函數是概率論中用于描述多個連續型隨機變量共同分布的核心工具。以下是詳細解釋：

1. 定義

聯合密度函數 ( f_{X,Y}(x,y) ) 描述兩個隨機變量 ( X ) 和 ( Y ) 同時取特定值的概率密度，滿足：

非負性：( f_{X,Y}(x,y) geq 0 ) 對所有 ( x, y )；
歸一性：( int{-infty}^{+infty} int{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(x,y) , dx , dy = 1 )。

概率計算：
事件 ( (X,Y) in D ) 的概率通過二重積分求得： $$ P((X,Y) in D) = iintD f{X,Y}(x,y) , dx , dy. $$

2. 關鍵性質

邊緣密度函數：
通過對其中一個變量積分得到單個變量的密度函數：
- ( fX(x) = int{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(x,y) , dy )，
- ( fY(y) = int{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(x,y) , dx )。
獨立性：
若 ( X ) 和 ( Y ) 獨立，則聯合密度可分解為邊緣密度的乘積：
$$ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) cdot f_Y(y). $$
條件密度函數：
給定 ( Y=y ) 時，( X ) 的條件密度為：
$$ f{X|Y}(x|y) = frac{f{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}. $$

3. 應用場景

多元統計分析：如多元正态分布的聯合密度函數用于描述多個相關變量的分布。
信號處理：聯合密度可建模噪聲與信號的聯合分布。
機器學習：在生成模型中，聯合密度用于建模輸入特征與标籤的關系。

示例

假設 ( X ) 和 ( Y ) 的聯合密度為： $$ f_{X,Y}(x,y) = begin{cases} 2e^{-x-2y} & x geq 0, y geq 0, 0 & text{其他}. end{cases} $$

邊緣密度：( f_X(x) = 2e^{-x} int_0^{+infty} e^{-2y} dy = e^{-x} )（指數分布）。
獨立性：因 ( f_{X,Y}(x,y) = e^{-x} cdot 2e^{-2y} = f_X(x) cdot f_Y(y) )，故 ( X ) 和 ( Y ) 獨立。

聯合密度函數是分析多變量概率問題的基石，其性質為統計推斷、隨機建模提供了數學基礎。