联合密度函数英文解释翻译、联合密度函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 joint density function

分词翻译：

联合的英语翻译：

unite; ally; connect; link; associate; band; joint; combination; federation
linkage; union; alliance
【计】 uniting
【化】 union
【医】 association; coadunation; coadunition; symphysis; syndesis; union
【经】 associate; coalition; combination; consolidate; consortium; fusion
union

密度函数的英语翻译：

【计】 density function
【化】 density function; frequency function
【经】 density function

专业解析

在概率论与统计学中，联合密度函数（Joint Density Function）是描述多个随机变量共同概率分布的核心工具。其英文对应术语为Joint Probability Density Function (Joint PDF)，主要用于刻画两个或以上连续型随机变量的联合概率特性。

一、定义与数学表达

对于连续型随机变量(X)和(Y)，其联合密度函数(f_{X,Y}(x,y))需满足以下条件：

非负性：(f_{X,Y}(x,y) geq 0)对所有(x,y)成立；
归一性：积分满足$$int{-infty}^{infty} int{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,y) , dx , dy = 1$$
该函数可用于计算区域(D)内的联合概率：$$P((X,Y) in D) = iintD f{X,Y}(x,y) , dx , dy$$

二、性质与应用

边缘密度函数：通过积分可推导单个变量的概率密度，例如(fX(x) = int{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,y) , dy；
独立性：若变量独立，则(f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) cdot f_Y(y)；
条件概率：给定(Y=y)时，(X)的条件密度为(f{X|Y}(x|y) = frac{f{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)})（假设(f_Y(y) > 0)）。

三、典型应用场景

联合密度函数在多元统计分析、信号处理（如噪声建模）及金融风险建模（如资产价格联合波动）中均有广泛应用。

参考文献

《概率论与数理统计》（高等教育出版社，第5版）
MIT OpenCourseWare, "Multivariable Calculus"
Khan Academy, "Probability and Statistics"
Wolfram MathWorld, "Joint Distribution Function"
Stanford University, "Applied Probability for Engineers"

网络扩展解释

联合密度函数是概率论中用于描述多个连续型随机变量共同分布的核心工具。以下是详细解释：

1. 定义

联合密度函数 ( f_{X,Y}(x,y) ) 描述两个随机变量 ( X ) 和 ( Y ) 同时取特定值的概率密度，满足：

非负性：( f_{X,Y}(x,y) geq 0 ) 对所有 ( x, y )；
归一性：( int{-infty}^{+infty} int{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(x,y) , dx , dy = 1 )。

概率计算：
事件 ( (X,Y) in D ) 的概率通过二重积分求得： $$ P((X,Y) in D) = iintD f{X,Y}(x,y) , dx , dy. $$

2. 关键性质

边缘密度函数：
通过对其中一个变量积分得到单个变量的密度函数：
- ( fX(x) = int{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(x,y) , dy )，
- ( fY(y) = int{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(x,y) , dx )。
独立性：
若 ( X ) 和 ( Y ) 独立，则联合密度可分解为边缘密度的乘积：
$$ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) cdot f_Y(y). $$
条件密度函数：
给定 ( Y=y ) 时，( X ) 的条件密度为：
$$ f{X|Y}(x|y) = frac{f{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}. $$

3. 应用场景

多元统计分析：如多元正态分布的联合密度函数用于描述多个相关变量的分布。
信号处理：联合密度可建模噪声与信号的联合分布。
机器学习：在生成模型中，联合密度用于建模输入特征与标签的关系。

示例

假设 ( X ) 和 ( Y ) 的联合密度为： $$ f_{X,Y}(x,y) = begin{cases} 2e^{-x-2y} & x geq 0, y geq 0, 0 & text{其他}. end{cases} $$

边缘密度：( f_X(x) = 2e^{-x} int_0^{+infty} e^{-2y} dy = e^{-x} )（指数分布）。
独立性：因 ( f_{X,Y}(x,y) = e^{-x} cdot 2e^{-2y} = f_X(x) cdot f_Y(y) )，故 ( X ) 和 ( Y ) 独立。

联合密度函数是分析多变量概率问题的基石，其性质为统计推断、随机建模提供了数学基础。