凸錐英文解釋翻譯、凸錐的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convex cone

protruding
【醫】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

awl; prick; wimble
【醫】 cone; drill

在數學與幾何學領域，"凸錐"（英文：convex cone）是一種特殊的向量集合，滿足以下兩個核心性質：

閉合性：若集合中任意兩點( mathbf{x} )和( mathbf{y} )屬于該集合，則它們的線性組合( lambda mathbf{x} + mu mathbf{y} )也屬于該集合，其中系數( lambda, mu geq 0 )。
非負标量乘法封閉性：若( mathbf{x} )屬于該集合，則對任意非負實數( alpha geq 0 )，( alpha mathbf{x} )也屬于該集合。

凸錐的典型例子包括非負象限（如二維坐标系的第一象限）和半空間（如由線性不等式定義的區域）。它在優化理論、經濟學模型和機器學習中具有重要應用，例如用于描述約束條件或可行解集。

根據數學文獻，凸錐的嚴格定義可參考Boyd與Vandenberghe合著的《Convex Optimization》（劍橋大學出版社），其中詳細探讨了凸錐在優化問題中的幾何特性。

凸錐（Convex Cone）是數學中結合了“凸集”和“錐”兩個概念的重要集合類型，常見于線性代數、優化理論和幾何分析中。其定義和性質如下：

錐的性質
若集合 ( C subseteq mathbb{R}^n ) 滿足：對任意點 ( x in C ) 和任意非負标量 ( lambda geq 0 )，均有 ( lambda x in C )，則稱 ( C ) 為錐。這意味着從原點出發的射線完全包含在錐内。
凸集的性質
若集合 ( C ) 中任意兩點 ( x, y in C ) 的連線上的所有點也屬于 ( C )，即對任意 ( theta in)，有 ( theta x + (1-theta)y in C )，則稱 ( C ) 為凸集。

凸錐即同時滿足上述兩個條件的集合。

線性組合封閉性：凸錐對非負線性組合封閉。即若 ( x_1, x_2 in C )，則對任意 ( lambda_1, lambda_2 geq 0 )，有 ( lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 in C )。
包含原點：所有凸錐必須包含原點（因取 ( lambda = 0 ) 時，( 0 cdot x = 0 ) 屬于錐）。

簡單凸錐
- 二維空間中，以原點為頂點、張角不超過180度的扇形區域（如第一象限）。
- 三維空間中的無限圓錐體（如 ( { (x,y,z) mid z geq 0, x + y leq z } )）。
非凸錐的反例
- 兩個不共線的射線組成的集合（如兩條不共線的過原點的直線）：雖然滿足錐性質，但兩點連線可能超出集合，故不是凸錐。

凸錐在優化問題（如線性規劃、二階錐規劃）、幾何建模和經濟學均衡分析中均有廣泛應用。例如，二階錐約束 ( |x| leq t ) 定義了凸錐，用于魯棒優化。

通過結合幾何直觀與代數性質，凸錐為描述和分析具有方向性與線性結構的空間提供了重要工具。