凸锥英文解释翻译、凸锥的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convex cone

protruding
【医】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

awl; prick; wimble
【医】 cone; drill

在数学与几何学领域，"凸锥"（英文：convex cone）是一种特殊的向量集合，满足以下两个核心性质：

闭合性：若集合中任意两点( mathbf{x} )和( mathbf{y} )属于该集合，则它们的线性组合( lambda mathbf{x} + mu mathbf{y} )也属于该集合，其中系数( lambda, mu geq 0 )。
非负标量乘法封闭性：若( mathbf{x} )属于该集合，则对任意非负实数( alpha geq 0 )，( alpha mathbf{x} )也属于该集合。

凸锥的典型例子包括非负象限（如二维坐标系的第一象限）和半空间（如由线性不等式定义的区域）。它在优化理论、经济学模型和机器学习中具有重要应用，例如用于描述约束条件或可行解集。

根据数学文献，凸锥的严格定义可参考Boyd与Vandenberghe合著的《Convex Optimization》（剑桥大学出版社），其中详细探讨了凸锥在优化问题中的几何特性。

凸锥（Convex Cone）是数学中结合了“凸集”和“锥”两个概念的重要集合类型，常见于线性代数、优化理论和几何分析中。其定义和性质如下：

锥的性质
若集合 ( C subseteq mathbb{R}^n ) 满足：对任意点 ( x in C ) 和任意非负标量 ( lambda geq 0 )，均有 ( lambda x in C )，则称 ( C ) 为锥。这意味着从原点出发的射线完全包含在锥内。
凸集的性质
若集合 ( C ) 中任意两点 ( x, y in C ) 的连线上的所有点也属于 ( C )，即对任意 ( theta in)，有 ( theta x + (1-theta)y in C )，则称 ( C ) 为凸集。

凸锥即同时满足上述两个条件的集合。

线性组合封闭性：凸锥对非负线性组合封闭。即若 ( x_1, x_2 in C )，则对任意 ( lambda_1, lambda_2 geq 0 )，有 ( lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 in C )。
包含原点：所有凸锥必须包含原点（因取 ( lambda = 0 ) 时，( 0 cdot x = 0 ) 属于锥）。

简单凸锥
- 二维空间中，以原点为顶点、张角不超过180度的扇形区域（如第一象限）。
- 三维空间中的无限圆锥体（如 ( { (x,y,z) mid z geq 0, x + y leq z } )）。
非凸锥的反例
- 两个不共线的射线组成的集合（如两条不共线的过原点的直线）：虽然满足锥性质，但两点连线可能超出集合，故不是凸锥。

凸锥在优化问题（如线性规划、二阶锥规划）、几何建模和经济学均衡分析中均有广泛应用。例如，二阶锥约束 ( |x| leq t ) 定义了凸锥，用于鲁棒优化。

通过结合几何直观与代数性质，凸锥为描述和分析具有方向性与线性结构的空间提供了重要工具。