生成空間英文解釋翻譯、生成空間的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 spanning space

分詞翻譯：

生成的英語翻譯：

【計】 generating; spanning
【醫】 production

空間的英語翻譯：

airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【醫】 keno-; space

專業解析

在數學（特别是線性代數）中，生成空間（英文：Span 或Linear Span）指由給定向量集合通過線性組合所能構造出的所有向量構成的子空間。它是向量空間的核心概念之一。

一、數學定義

設 ( V ) 是一個定義在域 ( F )（如實數域 ( mathbb{R} )）上的向量空間，給定一組向量 ( S = {mathbf{v_1}, mathbf{v_2}, dots, mathbf{vk}} subseteq V )，其生成空間定義為： $$ text{span}(S) = left{ sum{i=1}^{k} c_i mathbf{v_i} mid c_i in F right} $$ 即所有形如 ( c_1mathbf{v_1} + c_2mathbf{v_2} + dots + c_kmathbf{v_k} ) 的線性組合的集合。

二、關鍵性質

子空間性
( text{span}(S) ) 是 ( V ) 的子空間，且是包含 ( S ) 的最小子空間。

生成集與基
若 ( S ) 線性無關，則 ( S ) 是 ( text{span}(S) ) 的一組基，此時生成空間的維度等于 ( S ) 中向量的個數。

最小生成集
生成空間的任一基均可通過移除 ( S ) 中的線性相關向量得到，稱為生成集的約簡。

三、應用場景

解線性方程組：齊次方程組的解空間是系數矩陣列向量的正交補空間的生成集。
信號處理：在傅裡葉分析中，諧波分量生成函數空間。
計算機圖形學：三維物體的旋轉、平移操作由特定矩陣的生成空間描述。

權威參考來源：

David C. Lay，《線性代數及其應用》（第5版），Pearson出版社。

MIT OpenCourseWare，線性代數課程講義（Gilbert Strang）。

中國科學院數學研究所，《線性代數導論》。

網絡擴展解釋

生成空間（Spanning Space）是線性代數中的核心概念，指由一組向量通過線性組合所能構成的所有向量的集合。以下是詳細解釋：

一、基本定義

數學表述
若向量集合 ( S = {mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, dots, mathbf{v}_m} ) 的所有線性組合（即 ( k_1mathbf{v}_1 + k_2mathbf{v}_2 + dots + k_mmathbf{v}_m )，其中 ( k_i ) 為标量）構成一個向量空間，則稱該空間為 ( S ) 的生成空間，記作 ( text{Span}(S) ) 。
幾何意義
例如，二維空間中兩個不共線的向量 ( mathbf{u} ) 和 ( mathbf{v} )，其線性組合可以覆蓋整個平面，因此它們生成二維空間；若共線，則隻能生成一條直線（一維子空間）。

二、生成空間的條件

向量個數與維度關系
- 生成 ( n ) 維空間至少需要 ( n ) 個向量（( m geq n )）。
- 若 ( m > n )，則這些向量必線性相關，但仍可能生成整個空間（例如三維空間中四個非共面向量）。
與線性無關性的聯繫
- 若 ( n ) 維空間中的 ( n ) 個向量線性無關，則它們不僅能生成空間，還構成該空間的一組基（唯一表示任意向量）。
- 線性相關的向量集合可能生成更低維的子空間（如共線向量生成直線）。

三、生成空間與基的關系

基的定義：若一組向量既能生成整個空間，又線性無關，則稱為該空間的基。基的向量個數等于空間維度（( m = n )）。
示例：三維空間的标準基 ( {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ) 既是生成集合，也是基。

四、擴展應用

無限維空間：若向量集合無限，其生成空間僅包含有限線性組合，收斂的無限組合需額外定義。
泛函分析中的推廣：弱緊生成空間等概念是巴拿赫空間的擴展。

生成空間通過線性組合描述向量集合的覆蓋能力，而基是其極小生成集。理解這一概念有助于分析向量間的依賴關系及空間結構。