生成空间英文解释翻译、生成空间的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 spanning space

分词翻译：

生成的英语翻译：

【计】 generating; spanning
【医】 production

空间的英语翻译：

airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【医】 keno-; space

专业解析

在数学（特别是线性代数）中，生成空间（英文：Span 或Linear Span）指由给定向量集合通过线性组合所能构造出的所有向量构成的子空间。它是向量空间的核心概念之一。

一、数学定义

设 ( V ) 是一个定义在域 ( F )（如实数域 ( mathbb{R} )）上的向量空间，给定一组向量 ( S = {mathbf{v_1}, mathbf{v_2}, dots, mathbf{vk}} subseteq V )，其生成空间定义为： $$ text{span}(S) = left{ sum{i=1}^{k} c_i mathbf{v_i} mid c_i in F right} $$ 即所有形如 ( c_1mathbf{v_1} + c_2mathbf{v_2} + dots + c_kmathbf{v_k} ) 的线性组合的集合。

二、关键性质

子空间性
( text{span}(S) ) 是 ( V ) 的子空间，且是包含 ( S ) 的最小子空间。

生成集与基
若 ( S ) 线性无关，则 ( S ) 是 ( text{span}(S) ) 的一组基，此时生成空间的维度等于 ( S ) 中向量的个数。

最小生成集
生成空间的任一基均可通过移除 ( S ) 中的线性相关向量得到，称为生成集的约简。

三、应用场景

解线性方程组：齐次方程组的解空间是系数矩阵列向量的正交补空间的生成集。
信号处理：在傅里叶分析中，谐波分量生成函数空间。
计算机图形学：三维物体的旋转、平移操作由特定矩阵的生成空间描述。

权威参考来源：

David C. Lay，《线性代数及其应用》（第5版），Pearson出版社。

MIT OpenCourseWare，线性代数课程讲义（Gilbert Strang）。

中国科学院数学研究所，《线性代数导论》。

网络扩展解释

生成空间（Spanning Space）是线性代数中的核心概念，指由一组向量通过线性组合所能构成的所有向量的集合。以下是详细解释：

一、基本定义

数学表述
若向量集合 ( S = {mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, dots, mathbf{v}_m} ) 的所有线性组合（即 ( k_1mathbf{v}_1 + k_2mathbf{v}_2 + dots + k_mmathbf{v}_m )，其中 ( k_i ) 为标量）构成一个向量空间，则称该空间为 ( S ) 的生成空间，记作 ( text{Span}(S) ) 。
几何意义
例如，二维空间中两个不共线的向量 ( mathbf{u} ) 和 ( mathbf{v} )，其线性组合可以覆盖整个平面，因此它们生成二维空间；若共线，则只能生成一条直线（一维子空间）。

二、生成空间的条件

向量个数与维度关系
- 生成 ( n ) 维空间至少需要 ( n ) 个向量（( m geq n )）。
- 若 ( m > n )，则这些向量必线性相关，但仍可能生成整个空间（例如三维空间中四个非共面向量）。
与线性无关性的联系
- 若 ( n ) 维空间中的 ( n ) 个向量线性无关，则它们不仅能生成空间，还构成该空间的一组基（唯一表示任意向量）。
- 线性相关的向量集合可能生成更低维的子空间（如共线向量生成直线）。

三、生成空间与基的关系

基的定义：若一组向量既能生成整个空间，又线性无关，则称为该空间的基。基的向量个数等于空间维度（( m = n )）。
示例：三维空间的标准基 ( {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ) 既是生成集合，也是基。

四、扩展应用

无限维空间：若向量集合无限，其生成空间仅包含有限线性组合，收敛的无限组合需额外定义。
泛函分析中的推广：弱紧生成空间等概念是巴拿赫空间的扩展。

生成空间通过线性组合描述向量集合的覆盖能力，而基是其极小生成集。理解这一概念有助于分析向量间的依赖关系及空间结构。