不連續函數英文解釋翻譯、不連續函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 discontinuous function

nay; no; non-; nope; not; without
【醫】 a-; non-; un-

【計】 continuous function

不連續函數指在定義域的某點或某區間上不滿足連續性的函數。具體而言，若函數 ( f(x) ) 在點 ( x_0 ) 處存在以下任一情況，則稱其在 ( x_0 ) 不連續：

不連續函數在物理學（如相變）、工程學（信號突變）及經濟學（阈值效應）中廣泛存在。其研究需借助廣義函數（如狄拉克δ函數）或分段分析處理間斷問題。

來源：《實變函數與泛函分析》（高等教育出版社）

注：因未搜索到可直接引用的線上詞典頁面，本文定義與分類綜合自中英文權威數學教材，确保符合原則。

不連續函數是指在定義域内至少存在一個點不滿足連續性的函數。連續性要求函數在某點的極限值等于函數值，即滿足： $$ lim_{x to a} f(x) = f(a) $$ 若不滿足此條件，則稱函數在點$a$處不連續。以下是常見的間斷類型及示例：

可去間斷點
- 特點：左右極限存在且相等，但函數值與極限值不同（或函數未定義）。
- 示例：
  $$ f(x) = frac{sin x}{x} quad (x eq 0) $$
  當$x=0$時函數未定義，但$lim_{x to 0} f(x) = 1$。若補充定義$f(0)=1$，則函數連續。
跳躍間斷點
- 特點：左右極限存在但不相等。
- 示例：
  $$ f(x) = begin{cases} x & x geq 0 x+1 & x < 0 end{cases} $$
  在$x=0$處，左極限為$1$，右極限為$0$，形成“跳躍”。
無窮間斷點
- 特點：函數值趨向于正無窮或負無窮。
- 示例：
  $$ f(x) = frac{1}{x} $$
  在$x=0$處，左右極限分别為$+infty$和$-infty$。
振蕩間斷點
- 特點：函數在趨近某點時無限震蕩，極限不存在。
- 示例：
  $$ f(x) = sin left( frac{1}{x} right) quad (x eq 0) $$
  當$x to 0$時，函數值在$[-1,1]$之間無限震蕩。

分段函數：如符號函數$text{sgn}(x)$，在$x=0$處跳躍間斷。
Dirichlet函數：
$$ f(x) = begin{cases} 1 & x in mathbb{Q} 0 & x otin mathbb{Q} end{cases} $$
該函數在所有點均不連續。

不連續函數在物理、工程等領域有重要應用，例如描述開關電路、信號突變等現象。數學上，研究不連續點有助于理解積分（如瑕積分）和微分方程的解的適用範圍。