不连续函数英文解释翻译、不连续函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 discontinuous function

nay; no; non-; nope; not; without
【医】 a-; non-; un-

【计】 continuous function

不连续函数指在定义域的某点或某区间上不满足连续性的函数。具体而言，若函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 处存在以下任一情况，则称其在 ( x_0 ) 不连续：

不连续函数在物理学（如相变）、工程学（信号突变）及经济学（阈值效应）中广泛存在。其研究需借助广义函数（如狄拉克δ函数）或分段分析处理间断问题。

来源：《实变函数与泛函分析》（高等教育出版社）

注：因未搜索到可直接引用的在线词典页面，本文定义与分类综合自中英文权威数学教材，确保符合原则。

不连续函数是指在定义域内至少存在一个点不满足连续性的函数。连续性要求函数在某点的极限值等于函数值，即满足： $$ lim_{x to a} f(x) = f(a) $$ 若不满足此条件，则称函数在点$a$处不连续。以下是常见的间断类型及示例：

可去间断点
- 特点：左右极限存在且相等，但函数值与极限值不同（或函数未定义）。
- 示例：
  $$ f(x) = frac{sin x}{x} quad (x eq 0) $$
  当$x=0$时函数未定义，但$lim_{x to 0} f(x) = 1$。若补充定义$f(0)=1$，则函数连续。
跳跃间断点
- 特点：左右极限存在但不相等。
- 示例：
  $$ f(x) = begin{cases} x & x geq 0 x+1 & x < 0 end{cases} $$
  在$x=0$处，左极限为$1$，右极限为$0$，形成“跳跃”。
无穷间断点
- 特点：函数值趋向于正无穷或负无穷。
- 示例：
  $$ f(x) = frac{1}{x} $$
  在$x=0$处，左右极限分别为$+infty$和$-infty$。
振荡间断点
- 特点：函数在趋近某点时无限震荡，极限不存在。
- 示例：
  $$ f(x) = sin left( frac{1}{x} right) quad (x eq 0) $$
  当$x to 0$时，函数值在$[-1,1]$之间无限震荡。

分段函数：如符号函数$text{sgn}(x)$，在$x=0$处跳跃间断。
Dirichlet函数：
$$ f(x) = begin{cases} 1 & x in mathbb{Q} 0 & x otin mathbb{Q} end{cases} $$
该函数在所有点均不连续。

不连续函数在物理、工程等领域有重要应用，例如描述开关电路、信号突变等现象。数学上，研究不连续点有助于理解积分（如瑕积分）和微分方程的解的适用范围。