曲面坐标英文解釋翻譯、曲面坐标的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 surface coordinate

分詞翻譯：

曲的英語翻譯：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【醫】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

面的英語翻譯：

face; surface; cover; directly; range; scale; side
【醫】 face; facies; facio-; prosopo-; surface

坐标的英語翻譯：

coordinate
【電】 coordinates; frame of reference

專業解析

曲面坐标（Curvilinear Coordinates）是指定義在曲面或曲線空間中的坐标系，用于描述該空間内點的位置。與笛卡爾坐标系不同，曲面坐标的坐标線（如等坐标線）通常是曲線，而非直線。這種坐标系在微分幾何、物理學（如廣義相對論、連續介質力學）和工程學（如殼體分析）中具有重要應用。

一、核心定義與數學基礎

曲面坐标通過參數化曲面建立。設曲面由參數方程定義： $$vec{r}(u, v) = x(u,v)hat{i} + y(u,v)hat{j} + z(u,v)hat{k}$$ 其中 ( u, v ) 為曲面坐标參數。坐标曲線的切向量為： $$vec{r}_u = frac{partial vec{r}}{partial u}, quad vec{r}_v = frac{partial vec{r}}{partial v}$$ 二者張成曲面的切平面，其線性無關性要求雅可比矩陣滿秩。曲面上的度量由第一基本形式描述： $$ds = E,du + 2F,du,dv + G,dv$$ 其中 ( E = vec{r}_u cdot vec{r}_u )， ( F = vec{r}_u cdot vec{r}_v )， ( G = vec{r}_v cdot vec{r}_v ) 為高斯系數。

二、特性與分類

局部正交性
當 ( F=0 ) 時，坐标曲線處處正交（如球坐标的經線與緯線）。

尺度因子
沿坐标曲線的弧長微元為 ( ds_u = sqrt{E},du )， ( ds_v = sqrt{G},dv )，尺度因子 ( h_u = sqrt{E} )， ( h_v = sqrt{G} )。

常見類型
- 極坐标系（( r, theta )）：適用于平面圓形對稱問題
- 柱坐标系（( rho, phi, z )）：擴展極坐标至三維柱對稱
- 球坐标系（( r, theta, phi )）：處理球對稱系統

三、物理與工程應用

廣義相對論
愛因斯坦場方程在彎曲時空采用曲面坐标，描述引力場幾何（如史瓦西度規）。

彈性殼體分析
殼體中性面的變形用高斯坐标系（( alpha, beta )）建模，應變-位移關系依賴曲面曲率。

流體動力學
非慣性系中的納維-斯托克斯方程需引入曲面坐标的克裡斯托弗符號修正。

權威參考來源：

Arfken, G.B., Weber, H.J., Harris, F.E. (2013). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. （定義與數學推導）

Goldstein, H., Poole, C., Safko, J. (2002). Classical Mechanics. Addison-Wesley. （物理應用實例）

《數學辭海》編輯委員會 (2002). 數學辭海·幾何卷. 中國科學技術出版社. （中文術語規範）

網絡擴展解釋

曲面坐标（或稱為曲面坐标系）是用于描述曲面上點位置的參數化系統。與三維空間中的笛卡爾坐标系不同，曲面坐标僅需兩個參數即可唯一确定曲面上的一個點，因為曲面本身是二維的。以下是關鍵解釋：

1.基本定義

曲面坐标通過一對參數（通常記為 ( u ) 和 ( v )）将曲面上的點映射到二維參數空間。例如：

球面坐标系中的經度（(theta)）和緯度（(phi)）；
柱面坐标系中的半徑（(r)）和高度（(z)）。

數學上，曲面可表示為參數方程： $$ mathbf{r}(u, v) = begin{cases} x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) end{cases} $$ 其中 ( u ) 和 ( v ) 是參數，取值範圍由曲面形狀決定。

2.核心特性

局部性：僅適用于曲面局部區域，全局可能存在奇點（如球體的兩極）。
坐标線：固定一個參數，變化另一個參數可得到曲面上的坐标線（如經線和緯線）。
度量張量：通過微分幾何中的第一基本形式描述曲面上的距離和角度。

3.常見類型

正交坐标系：坐标線在每一點正交（如極坐标系）。
共形坐标系：保持角度不變（複分析中的保角映射）。
測地坐标系：以某點為中心，沿測地線展開的坐标系。

4.應用場景

物理學：廣義相對論中描述時空曲面。
工程學：殼體結構的應力分析。
計算機圖形學：參數化曲面建模（如貝塞爾曲面）。

5.與空間坐标的區别

三維空間坐标（如笛卡爾坐标 ( (x, y, z) )）獨立于曲面，而曲面坐标需滿足約束方程 ( f(x, y, z) = 0 )。例如，球面上點需滿足 ( x + y + z = R )。

若需具體實例（如球坐标系轉換公式），可提供補充說明。