齊次多項式英文解釋翻譯、齊次多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 homogeneous multinomial

分詞翻譯：

齊的英語翻譯：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【醫】 trans-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

齊次多項式（Homogeneous Polynomial）是代數學中的核心概念，指所有非零項具有相同次數的多項式。例如，三元二次齊次多項式可表示為$P(x,y,z)=ax+bxy+cy+dz+exz+fyz$，其中每個單項式的次數均為2。這類多項式在幾何、物理學和工程領域具有特殊意義，其齊次性保證了坐标縮放時的比例不變性。

在數學文獻中，齊次多項式常被稱為“代數形式”（algebraic form）。當滿足$P(lambda x_1,lambda x_2,...,lambda x_n)=lambda^kP(x_1,x_2,...,x_n)$時，該多項式即為k次齊次式。這種特性使其在描述線性空間中的射影變換時尤為重要。

實際應用中，齊次多項式構成代數幾何的研究基礎。例如在計算機圖形學領域，三維物體的旋轉矩陣運算依賴于四元數齊次坐标系統。微分方程理論中，歐拉齊次方程的解結構也建立在該概念之上。美國數學學會（AMS）的術語索引系統将其歸類為代數基本構件。

參考來源：

Springer數學百科全書（entry: Homogeneous Polynomials）
《高等代數》（高等教育出版社，第5章）
美國數學學會術語數據庫（MSC2020分類號: 13A50）

網絡擴展解釋

齊次多項式是代數學中的一個重要概念，其核心特征是所有非零項的次數均相同。以下是詳細解釋：

1. 定義

若一個多項式中每個非零單項式的次數（即變量指數之和）相等，則該多項式稱為齊次多項式，也稱為齊次式。例如：

( x + xy + y ) 是二次齊次多項式（每項次數均為2）；
( 3a + 2b - 4abc ) 是三次齊次多項式（每項次數均為3）。

2. 次數的判定

單項式的次數：變量指數之和。例如，( 5xy ) 的次數是 ( 2+3=5 )。
多項式的齊次性：當且僅當所有非零項次數相同。例如，( x + 2y ) 是一次齊次式，而 ( x + y ) 不是齊次式（次數分别為2和1）。

3. 與非齊次多項式的區别

齊次多項式：所有項次數一緻，如 ( x + y + z )。
非齊次多項式：至少存在兩項次數不同，如 ( x + x + 1 )。

4. 性質與應用

幾何意義：在射影幾何中，齊次多項式用于定義射影空間中的代數簇，因其在坐标縮放下保持方程不變性。
微分方程：齊次微分方程的解常通過齊次多項式構造。
對稱性：對稱齊次多項式（如對稱函數）在組合數學和物理中有廣泛應用。

5. 擴展：齊次函數

若函數 ( f(x_1, x_2, ldots, x_n) ) 滿足 ( f(kx_1, kx_2, ldots, kx_n) = k^d f(x_1, x_2, ldots, x_n) )，則稱其為d次齊次函數。齊次多項式正是這類函數的典型例子。

通過以上分析，齊次多項式在數學理論和實際應用中均扮演重要角色，其核心特征在于次數的一緻性。