齐次多项式英文解释翻译、齐次多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 homogeneous multinomial

分词翻译：

齐的英语翻译：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【医】 trans-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

齐次多项式（Homogeneous Polynomial）是代数学中的核心概念，指所有非零项具有相同次数的多项式。例如，三元二次齐次多项式可表示为$P(x,y,z)=ax+bxy+cy+dz+exz+fyz$，其中每个单项式的次数均为2。这类多项式在几何、物理学和工程领域具有特殊意义，其齐次性保证了坐标缩放时的比例不变性。

在数学文献中，齐次多项式常被称为“代数形式”（algebraic form）。当满足$P(lambda x_1,lambda x_2,...,lambda x_n)=lambda^kP(x_1,x_2,...,x_n)$时，该多项式即为k次齐次式。这种特性使其在描述线性空间中的射影变换时尤为重要。

实际应用中，齐次多项式构成代数几何的研究基础。例如在计算机图形学领域，三维物体的旋转矩阵运算依赖于四元数齐次坐标系统。微分方程理论中，欧拉齐次方程的解结构也建立在该概念之上。美国数学学会（AMS）的术语索引系统将其归类为代数基本构件。

参考来源：

Springer数学百科全书（entry: Homogeneous Polynomials）
《高等代数》（高等教育出版社，第5章）
美国数学学会术语数据库（MSC2020分类号: 13A50）

网络扩展解释

齐次多项式是代数学中的一个重要概念，其核心特征是所有非零项的次数均相同。以下是详细解释：

1. 定义

若一个多项式中每个非零单项式的次数（即变量指数之和）相等，则该多项式称为齐次多项式，也称为齐次式。例如：

( x + xy + y ) 是二次齐次多项式（每项次数均为2）；
( 3a + 2b - 4abc ) 是三次齐次多项式（每项次数均为3）。

2. 次数的判定

单项式的次数：变量指数之和。例如，( 5xy ) 的次数是 ( 2+3=5 )。
多项式的齐次性：当且仅当所有非零项次数相同。例如，( x + 2y ) 是一次齐次式，而 ( x + y ) 不是齐次式（次数分别为2和1）。

3. 与非齐次多项式的区别

齐次多项式：所有项次数一致，如 ( x + y + z )。
非齐次多项式：至少存在两项次数不同，如 ( x + x + 1 )。

4. 性质与应用

几何意义：在射影几何中，齐次多项式用于定义射影空间中的代数簇，因其在坐标缩放下保持方程不变性。
微分方程：齐次微分方程的解常通过齐次多项式构造。
对称性：对称齐次多项式（如对称函数）在组合数学和物理中有广泛应用。

5. 扩展：齐次函数

若函数 ( f(x_1, x_2, ldots, x_n) ) 满足 ( f(kx_1, kx_2, ldots, kx_n) = k^d f(x_1, x_2, ldots, x_n) )，则称其为d次齐次函数。齐次多项式正是这类函数的典型例子。

通过以上分析，齐次多项式在数学理论和实际应用中均扮演重要角色，其核心特征在于次数的一致性。