平面變換英文解釋翻譯、平面變換的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 plane transformation

分詞翻譯：

平面的英語翻譯：

flat; plane; surface
【醫】 flat; plane; planum

變換的英語翻譯：

alternate; switch; transform; commutation
【計】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

專業解析

平面變換的詳細釋義（漢英詞典視角）

在數學和幾何學領域，“平面變換”（Plane Transformation）指對二維平面上的點、線、圖形等幾何對象，按照特定規則進行位置、形狀或方向改變的操作過程。其核心在于建立原平面點集與新平面點集之間的一一對應關系。

一、核心概念與分類

基本定義：平面變換是将二維平面映射到自身或另一個平面的函數。若點 ( (x, y) ) 經變換後成為點 ( (x', y') )，則該變換可表示為： $$ x' = f(x, y) $$ $$ y' = g(x, y) $$ 其中 ( f ) 和 ( g ) 是定義變換規則的函數。
主要類型：
- 等距變換/剛體變換 (Isometric/Rigid Transformation)：保持任意兩點間距離不變。包括平移（Translation）、旋轉（Rotation）、反射（Reflection）及其組合。圖形形狀和大小不變。
- 相似變換 (Similarity Transformation)：在等距變換基礎上增加均勻縮放（Scaling）。圖形形狀不變，大小按比例改變。
- 仿射變換 (Affine Transformation)：可表示為線性變換（旋轉、縮放、錯切）與平移的組合。保持直線的平行性、線段比例和凸性，但角度和長度可能改變。通用矩陣形式為： $$ begin{bmatrix} x' y' 1 end{bmatrix}
  
  begin{bmatrix} a & b & c d & e & f 0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x y 1 end{bmatrix} $$
- 投影變換/透視變換 (Projective/Perspective Transformation)：最一般的線性變換（齊次坐标下）。保持直線的直線性，但不再保持平行性、長度比例或凸性。用于模拟三維場景在二維平面上的透視投影。

二、關鍵特性

可逆性 (Invertibility)：許多常見變換（如等距、相似、仿射）是可逆的，即存在逆變換能将圖形恢複原狀。
不變性 (Invariants)：變換過程中保持不變的幾何屬性（如距離、角度、平行性、交比等）是區分變換類型的重要依據。
矩陣表示 (Matrix Representation)：線性變換（仿射、投影）常用矩陣乘法在齊次坐标系下表示，便于計算和組合。

三、典型應用領域

計算機圖形學 (Computer Graphics)：實現圖形的移動、旋轉、縮放、變形及三維場景渲染。
計算機視覺 (Computer Vision)：圖像校正、配準、目标跟蹤、視角變換。
機器人學 (Robotics)：描述機器人末端執行器在平面内的運動。
地理信息系統 (GIS)：地圖投影、坐标系統轉換。
機械制圖與工程 (Engineering Drawing)：視圖變換、投影表達。

四、漢英術語對照與說明

平面 (Píngmiàn) - Plane：指二維的平坦空間。
變換 (Biànhuàn) - Transformation：指一種系統性的映射或轉換規則。
平移 (Píngyí) - Translation：圖形整體沿直線移動，無旋轉。
旋轉 (Xuánzhuǎn) - Rotation：圖形繞固定點（旋轉中心）轉動一定角度。
縮放 (Suōfàng) - Scaling：圖形尺寸按比例放大或縮小。
反射 (Fǎnshè) - Reflection：圖形關于某直線（軸）作鏡像。
錯切 (Cuòqiē) - Shearing：圖形沿某一方向發生傾斜變形。
仿射 (Fǎngshè) - Affine：指保持線性（直線映射為直線）和平行性的變換。
投影 (Tóuyǐng) - Projective/Perspective：模拟視覺透視效果的變換。

參考來源：

Eric Weisstein's World of Mathematics (MathWorld) - "Transformation"：提供數學視角的嚴格定義與分類。
Encyclopedia Britannica - "Geometry, Transformations in"：概述變換在幾何學中的曆史與發展。
Khan Academy - "Transformations | Geometry"：直觀解釋基本變換類型及其效果。
Wolfram MathWorld - "Affine Transformation"：詳述仿射變換的數學原理與性質。
Computer Graphics: Principles and Practice (Foley, van Dam et al.)：經典教材，闡述變換在CG中的應用。

網絡擴展解釋

平面變換是幾何學中研究二維平面上點、圖形或空間位置關系改變的一類數學方法。其核心是通過特定規則将原始坐标映射到新坐标，主要分為以下幾種類型：

1. 基本線性變換

通過矩陣乘法實現，保持原點不變：

旋轉：用旋轉矩陣 $begin{bmatrix} cosθ & -sinθsinθ & cosθ end{bmatrix}$ 繞原點旋轉角度θ
縮放：矩陣 $begin{bmatrix} k_x & 00 & k_y end{bmatrix}$ 控制x/y軸方向的拉伸或壓縮
剪切：形如 $begin{bmatrix} 1 & k0 & 1 end{bmatrix}$ 的矩陣使圖形沿某方向傾斜

2. 仿射變換

線性變換的擴展，允許平移操作：

平移：需引入齊次坐标 $begin{bmatrix} x'y'1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x0 & 1 & t_y0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} xy1 end{bmatrix}$
完整形式：$begin{bmatrix} a & b & t_xc & d & t_y0 & 0 & 1 end{bmatrix}$，包含線性變換+平移

3. 特殊變換類型

剛體變換：僅包含旋轉+平移，保持形狀大小不變（如機械臂運動）
投影變換：處理透視效果，常見于3D到2D投影
反射變換：關于某直線對稱，如矩陣 $begin{bmatrix} -1 & 00 & 1 end{bmatrix}$ 表示y軸對稱

數學性質

可逆性：當變換矩陣行列式 $|A| eq 0$ 時存在逆變換
組合規則：多個變換按從右到左的矩陣乘法順序疊加
行列式意義：絕對值表示面積縮放比例，符號指示方向是否翻轉

應用領域

計算機圖形學（遊戲/動畫渲染）
機器人運動學建模
圖像處理（畸變校正、特征匹配）
地理信息系統中的坐标轉換

平面變換的數學基礎是線性代數，理解其矩陣表示和幾何意義對工程計算和圖形編程至關重要。