平面变换英文解释翻译、平面变换的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 plane transformation

分词翻译：

平面的英语翻译：

flat; plane; surface
【医】 flat; plane; planum

变换的英语翻译：

alternate; switch; transform; commutation
【计】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

专业解析

平面变换的详细释义（汉英词典视角）

在数学和几何学领域，“平面变换”（Plane Transformation）指对二维平面上的点、线、图形等几何对象，按照特定规则进行位置、形状或方向改变的操作过程。其核心在于建立原平面点集与新平面点集之间的一一对应关系。

一、核心概念与分类

基本定义：平面变换是将二维平面映射到自身或另一个平面的函数。若点 ( (x, y) ) 经变换后成为点 ( (x', y') )，则该变换可表示为： $$ x' = f(x, y) $$ $$ y' = g(x, y) $$ 其中 ( f ) 和 ( g ) 是定义变换规则的函数。
主要类型：
- 等距变换/刚体变换 (Isometric/Rigid Transformation)：保持任意两点间距离不变。包括平移（Translation）、旋转（Rotation）、反射（Reflection）及其组合。图形形状和大小不变。
- 相似变换 (Similarity Transformation)：在等距变换基础上增加均匀缩放（Scaling）。图形形状不变，大小按比例改变。
- 仿射变换 (Affine Transformation)：可表示为线性变换（旋转、缩放、错切）与平移的组合。保持直线的平行性、线段比例和凸性，但角度和长度可能改变。通用矩阵形式为： $$ begin{bmatrix} x' y' 1 end{bmatrix}
  
  begin{bmatrix} a & b & c d & e & f 0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x y 1 end{bmatrix} $$
- 投影变换/透视变换 (Projective/Perspective Transformation)：最一般的线性变换（齐次坐标下）。保持直线的直线性，但不再保持平行性、长度比例或凸性。用于模拟三维场景在二维平面上的透视投影。

二、关键特性

可逆性 (Invertibility)：许多常见变换（如等距、相似、仿射）是可逆的，即存在逆变换能将图形恢复原状。
不变性 (Invariants)：变换过程中保持不变的几何属性（如距离、角度、平行性、交比等）是区分变换类型的重要依据。
矩阵表示 (Matrix Representation)：线性变换（仿射、投影）常用矩阵乘法在齐次坐标系下表示，便于计算和组合。

三、典型应用领域

计算机图形学 (Computer Graphics)：实现图形的移动、旋转、缩放、变形及三维场景渲染。
计算机视觉 (Computer Vision)：图像校正、配准、目标跟踪、视角变换。
机器人学 (Robotics)：描述机器人末端执行器在平面内的运动。
地理信息系统 (GIS)：地图投影、坐标系统转换。
机械制图与工程 (Engineering Drawing)：视图变换、投影表达。

四、汉英术语对照与说明

平面 (Píngmiàn) - Plane：指二维的平坦空间。
变换 (Biànhuàn) - Transformation：指一种系统性的映射或转换规则。
平移 (Píngyí) - Translation：图形整体沿直线移动，无旋转。
旋转 (Xuánzhuǎn) - Rotation：图形绕固定点（旋转中心）转动一定角度。
缩放 (Suōfàng) - Scaling：图形尺寸按比例放大或缩小。
反射 (Fǎnshè) - Reflection：图形关于某直线（轴）作镜像。
错切 (Cuòqiē) - Shearing：图形沿某一方向发生倾斜变形。
仿射 (Fǎngshè) - Affine：指保持线性（直线映射为直线）和平行性的变换。
投影 (Tóuyǐng) - Projective/Perspective：模拟视觉透视效果的变换。

参考来源：

Eric Weisstein's World of Mathematics (MathWorld) - "Transformation"：提供数学视角的严格定义与分类。
Encyclopedia Britannica - "Geometry, Transformations in"：概述变换在几何学中的历史与发展。
Khan Academy - "Transformations | Geometry"：直观解释基本变换类型及其效果。
Wolfram MathWorld - "Affine Transformation"：详述仿射变换的数学原理与性质。
Computer Graphics: Principles and Practice (Foley, van Dam et al.)：经典教材，阐述变换在CG中的应用。

网络扩展解释

平面变换是几何学中研究二维平面上点、图形或空间位置关系改变的一类数学方法。其核心是通过特定规则将原始坐标映射到新坐标，主要分为以下几种类型：

1. 基本线性变换

通过矩阵乘法实现，保持原点不变：

旋转：用旋转矩阵 $begin{bmatrix} cosθ & -sinθsinθ & cosθ end{bmatrix}$ 绕原点旋转角度θ
缩放：矩阵 $begin{bmatrix} k_x & 00 & k_y end{bmatrix}$ 控制x/y轴方向的拉伸或压缩
剪切：形如 $begin{bmatrix} 1 & k0 & 1 end{bmatrix}$ 的矩阵使图形沿某方向倾斜

2. 仿射变换

线性变换的扩展，允许平移操作：

平移：需引入齐次坐标 $begin{bmatrix} x'y'1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x0 & 1 & t_y0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} xy1 end{bmatrix}$
完整形式：$begin{bmatrix} a & b & t_xc & d & t_y0 & 0 & 1 end{bmatrix}$，包含线性变换+平移

3. 特殊变换类型

刚体变换：仅包含旋转+平移，保持形状大小不变（如机械臂运动）
投影变换：处理透视效果，常见于3D到2D投影
反射变换：关于某直线对称，如矩阵 $begin{bmatrix} -1 & 00 & 1 end{bmatrix}$ 表示y轴对称

数学性质

可逆性：当变换矩阵行列式 $|A| eq 0$ 时存在逆变换
组合规则：多个变换按从右到左的矩阵乘法顺序叠加
行列式意义：绝对值表示面积缩放比例，符号指示方向是否翻转

应用领域

计算机图形学（游戏/动画渲染）
机器人运动学建模
图像处理（畸变校正、特征匹配）
地理信息系统中的坐标转换

平面变换的数学基础是线性代数，理解其矩阵表示和几何意义对工程计算和图形编程至关重要。