收斂判據英文解釋翻譯、收斂判據的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 convergence criterion

分詞翻譯：

收斂的英語翻譯：

constringency; convergence; restrain oneself; weaken
【計】 converging
【化】 convergence
【醫】 adstrictio; astriction; astringe; astringency; stypsis

判據的英語翻譯：

criterion
【化】 criterion

專業解析

在數學分析和工程應用中，收斂判據（Convergence Criterion）指判斷無窮級數、序列或疊代過程是否收斂于某個極限的數學條件或規則。其核心是确定當項數或疊代次數無限增加時，結果是否趨于穩定值。以下是關鍵解析：

一、數學本質與常見判據

級數收斂判據
- Cauchy收斂準則：級數 $sum an$ 收斂的充要條件是 $forall varepsilon>0, exists N$ 使得當 $m>n>N$ 時 $left| sum{k=n+1}^m a_k right| < varepsilon$，反映部分和任意片段可任意小。
- 比值判據（d'Alembert）：若 $lim{ntoinfty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right| = L$，則 $L<1$ 時絕對收斂，$L>1$ 時發散。
- 根值判據（Cauchy）：若 $limsup_{ntoinfty} sqrt[n]{|a_n|} = L$，同樣以 $L<1$ 或 $L>1$ 判斷收斂性。
序列收斂判據
序列 ${x_n}$ 收斂于 $L$ 需滿足：$forall varepsilon>0, exists N$ 使得 $n>N$ 時 $|x_n - L| < varepsilon$，即極限的 $varepsilon$-$N$ 定義。

二、工程應用場景

在數值計算中，收斂判據用于控制疊代算法的終止條件：

殘差判據：當 $| mathbf{r}^{(k)} | < delta$（$mathbf{r}$ 為殘差向量）時停止疊代。
相對誤差判據：若 $frac{| mathbf{x}^{(k+1)} - mathbf{x}^{(k)} |}{| mathbf{x}^{(k)} |} < epsilon$，則認為解已收斂。
例如在有限元分析中，需滿足能量誤差小于阈值才終止求解。

三、注意事項

條件收斂與絕對收斂：部分級數（如交錯級數）可能條件收斂但非絕對收斂，需用Leibniz判據單獨分析。
判據失效情況：當比值或根值極限為1時（如 $p$-級數），需改用積分判據等補充方法。

權威參考來源：

Wolfram MathWorld: Convergence Criteria

Springer: Series Convergence Tests

NASA: Iterative Method Convergence

University of Cambridge: Numerical Analysis Notes

網絡擴展解釋

收斂判據是數學中用于判斷數列、函數或級數是否收斂的标準或方法。以下是主要類型的收斂判據及其解釋：

一、數列收斂判據

ε-N定義
若存在常數$a$，對于任意給定的正數$ε$，總存在正整數$N$，使得當$n>N$時，恒有$|X_n - a| < ε$，則稱數列${X_n}$收斂于$a$。這是收斂的最基本定義，強調數列項無限趨近于某個固定值。
單調有界定理
單調遞增且有上界（或單調遞減且有下界）的數列必收斂。例如，數列${1/n}$單調遞減且有下界$0$，因此收斂于$0$。

二、函數收斂判據

函數極限的ε-δ定義
若函數$f(x)$在$x$趨近于某點$x_0$時，存在常數$L$，使得對任意$ε>0$，存在$δ>0$，當$0<|x-x_0|<δ$時，$|f(x)-L|<ε$，則稱$f(x)$在$x_0$處收斂于$L$。

三、運算中的實用技巧

高階無窮小處理
在極限運算中，加減時可舍去高階無窮小，乘除時用等價無窮小替代複雜表達式。例如，計算$lim_{x→0} frac{sin x}{x}$時，利用$sin x sim x$簡化運算。

四、發散與收斂的對比

若數列或函數無法滿足上述任一判據（如極限不存在或趨于無窮大），則判定為發散。例如，數列${(-1)^n}$因振蕩無固定極限而發散。

以上判據綜合了數學分析中的核心思想，需結合具體場景靈活應用。如需進一步了解級數收斂的判别法（如比較法、根值法等），可參考數學分析教材擴展學習。