收敛判据英文解释翻译、收敛判据的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 convergence criterion

分词翻译：

收敛的英语翻译：

constringency; convergence; restrain oneself; weaken
【计】 converging
【化】 convergence
【医】 adstrictio; astriction; astringe; astringency; stypsis

判据的英语翻译：

criterion
【化】 criterion

专业解析

在数学分析和工程应用中，收敛判据（Convergence Criterion）指判断无穷级数、序列或迭代过程是否收敛于某个极限的数学条件或规则。其核心是确定当项数或迭代次数无限增加时，结果是否趋于稳定值。以下是关键解析：

一、数学本质与常见判据

级数收敛判据
- Cauchy收敛准则：级数 $sum an$ 收敛的充要条件是 $forall varepsilon>0, exists N$ 使得当 $m>n>N$ 时 $left| sum{k=n+1}^m a_k right| < varepsilon$，反映部分和任意片段可任意小。
- 比值判据（d'Alembert）：若 $lim{ntoinfty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right| = L$，则 $L<1$ 时绝对收敛，$L>1$ 时发散。
- 根值判据（Cauchy）：若 $limsup_{ntoinfty} sqrt[n]{|a_n|} = L$，同样以 $L<1$ 或 $L>1$ 判断收敛性。
序列收敛判据
序列 ${x_n}$ 收敛于 $L$ 需满足：$forall varepsilon>0, exists N$ 使得 $n>N$ 时 $|x_n - L| < varepsilon$，即极限的 $varepsilon$-$N$ 定义。

二、工程应用场景

在数值计算中，收敛判据用于控制迭代算法的终止条件：

残差判据：当 $| mathbf{r}^{(k)} | < delta$（$mathbf{r}$ 为残差向量）时停止迭代。
相对误差判据：若 $frac{| mathbf{x}^{(k+1)} - mathbf{x}^{(k)} |}{| mathbf{x}^{(k)} |} < epsilon$，则认为解已收敛。
例如在有限元分析中，需满足能量误差小于阈值才终止求解。

三、注意事项

条件收敛与绝对收敛：部分级数（如交错级数）可能条件收敛但非绝对收敛，需用Leibniz判据单独分析。
判据失效情况：当比值或根值极限为1时（如 $p$-级数），需改用积分判据等补充方法。

权威参考来源：

Wolfram MathWorld: Convergence Criteria

Springer: Series Convergence Tests

NASA: Iterative Method Convergence

University of Cambridge: Numerical Analysis Notes

网络扩展解释

收敛判据是数学中用于判断数列、函数或级数是否收敛的标准或方法。以下是主要类型的收敛判据及其解释：

一、数列收敛判据

ε-N定义
若存在常数$a$，对于任意给定的正数$ε$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，恒有$|X_n - a| < ε$，则称数列${X_n}$收敛于$a$。这是收敛的最基本定义，强调数列项无限趋近于某个固定值。
单调有界定理
单调递增且有上界（或单调递减且有下界）的数列必收敛。例如，数列${1/n}$单调递减且有下界$0$，因此收敛于$0$。

二、函数收敛判据

函数极限的ε-δ定义
若函数$f(x)$在$x$趋近于某点$x_0$时，存在常数$L$，使得对任意$ε>0$，存在$δ>0$，当$0<|x-x_0|<δ$时，$|f(x)-L|<ε$，则称$f(x)$在$x_0$处收敛于$L$。

三、运算中的实用技巧

高阶无穷小处理
在极限运算中，加减时可舍去高阶无穷小，乘除时用等价无穷小替代复杂表达式。例如，计算$lim_{x→0} frac{sin x}{x}$时，利用$sin x sim x$简化运算。

四、发散与收敛的对比

若数列或函数无法满足上述任一判据（如极限不存在或趋于无穷大），则判定为发散。例如，数列${(-1)^n}$因振荡无固定极限而发散。

以上判据综合了数学分析中的核心思想，需结合具体场景灵活应用。如需进一步了解级数收敛的判别法（如比较法、根值法等），可参考数学分析教材扩展学习。