特徵值英文解釋翻譯、特徵值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【建】 characteristic value

分詞翻譯：

特徵的英語翻譯：

【法】 habit

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

專業解析

特征值（Eigenvalue）是線性代數中的核心概念，指在矩陣變換中保持向量方向不變的标量因子。在漢英詞典中，其對應英文為“eigenvalue”，源自德語“eigen”（意為“自身的”或“獨特的”）。具體含義可分解為以下四部分：

數學定義
對于方陣( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )，使得( Amathbf{v} = lambdamathbf{v} )，則稱( lambda )為矩陣( A )的特征值，( mathbf{v })為對應的特征向量。這一關系體現了矩陣對特定向量的“伸縮”作用。
物理意義
在工程和物理學中，特征值常用于描述系統的固有特性。例如，在機械振動分析中，特征值對應系統的自然頻率；在量子力學中，特征值代表可觀測物理量的可能測量值。
計算方式
特征值通過求解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )獲得。例如，矩陣( begin{bmatrix} 2 & 11 & 2 end{bmatrix} )的特征值為3和1，分别對應特征向量( (1,1) )和( (1,-1) )。
應用領域
特征值廣泛應用于主成分分析（PCA）、圖像壓縮、結構穩定性分析等領域。谷歌搜索引擎的PageRank算法也利用矩陣特征值對網頁重要性排序。

參考資料：

數學定義與公式推導：維基百科"特征值"詞條（https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors）
工程應用案例：《線性代數及其應用》（David C. Lay著）
物理意義解析：MIT線性代數公開課（https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/）
算法實現原理：Stanford大學CS229課程資料（https://see.stanford.edu/Course/CS229）

網絡擴展解釋

特征值（Eigenvalue）是線性代數中的一個核心概念，主要描述矩陣對特定向量的縮放作用。以下是詳細解釋：

1.定義

對于方陣 ( A )，若存在非零向量 ( mathbf{v} ) 和标量 ( lambda )，滿足： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 則稱 ( lambda ) 為矩陣 ( A ) 的特征值，( mathbf{v} ) 為對應的特征向量。

2.幾何意義

特征向量在矩陣變換中保持方向不變，僅被特征值 ( lambda ) 縮放：

( lambda > 1 )：向量被拉長；
( 0 < lambda < 1 )：向量被壓縮；
( lambda < 0 )：向量方向反轉。

3.計算方法

通過解特征方程： $$ det(A - lambda I) = 0 $$ 其中 ( I ) 為單位矩陣，( det ) 表示行列式。方程的根即為特征值。

4.應用領域

物理學：分析振動系統（如橋梁共振）、量子力學中的能量态；
數據科學：主成分分析（PCA）通過特征值降維；
工程學：結構穩定性分析、圖像處理中的特征提取。

5.示例

若矩陣 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )，其特征方程為： $$ detleft( begin{pmatrix} 2-lambda & 11 & 2-lambda end{pmatrix} right) = (2-lambda) - 1 = 0 $$ 解得 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )，對應特征向量分别為 ( (1,1) ) 和 ( (1,-1) )。

特征值揭示了矩陣的内在性質，是分析線性變換、系統穩定性和數據模式的關鍵工具。