特徵值英文解释翻译、特徵值的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【建】 characteristic value

分词翻译：

特徵的英语翻译：

【法】 habit

值的英语翻译：

cost; value; happen to; on duty
【医】 number; titer; titre; value

专业解析

特征值（Eigenvalue）是线性代数中的核心概念，指在矩阵变换中保持向量方向不变的标量因子。在汉英词典中，其对应英文为“eigenvalue”，源自德语“eigen”（意为“自身的”或“独特的”）。具体含义可分解为以下四部分：

数学定义
对于方阵( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )，使得( Amathbf{v} = lambdamathbf{v} )，则称( lambda )为矩阵( A )的特征值，( mathbf{v })为对应的特征向量。这一关系体现了矩阵对特定向量的“伸缩”作用。
物理意义
在工程和物理学中，特征值常用于描述系统的固有特性。例如，在机械振动分析中，特征值对应系统的自然频率；在量子力学中，特征值代表可观测物理量的可能测量值。
计算方式
特征值通过求解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )获得。例如，矩阵( begin{bmatrix} 2 & 11 & 2 end{bmatrix} )的特征值为3和1，分别对应特征向量( (1,1) )和( (1,-1) )。
应用领域
特征值广泛应用于主成分分析（PCA）、图像压缩、结构稳定性分析等领域。谷歌搜索引擎的PageRank算法也利用矩阵特征值对网页重要性排序。

参考资料：

数学定义与公式推导：维基百科"特征值"词条（https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors）
工程应用案例：《线性代数及其应用》（David C. Lay著）
物理意义解析：MIT线性代数公开课（https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/）
算法实现原理：Stanford大学CS229课程资料（https://see.stanford.edu/Course/CS229）

网络扩展解释

特征值（Eigenvalue）是线性代数中的一个核心概念，主要描述矩阵对特定向量的缩放作用。以下是详细解释：

1.定义

对于方阵 ( A )，若存在非零向量 ( mathbf{v} ) 和标量 ( lambda )，满足： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 则称 ( lambda ) 为矩阵 ( A ) 的特征值，( mathbf{v} ) 为对应的特征向量。

2.几何意义

特征向量在矩阵变换中保持方向不变，仅被特征值 ( lambda ) 缩放：

( lambda > 1 )：向量被拉长；
( 0 < lambda < 1 )：向量被压缩；
( lambda < 0 )：向量方向反转。

3.计算方法

通过解特征方程： $$ det(A - lambda I) = 0 $$ 其中 ( I ) 为单位矩阵，( det ) 表示行列式。方程的根即为特征值。

4.应用领域

物理学：分析振动系统（如桥梁共振）、量子力学中的能量态；
数据科学：主成分分析（PCA）通过特征值降维；
工程学：结构稳定性分析、图像处理中的特征提取。

5.示例

若矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )，其特征方程为： $$ detleft( begin{pmatrix} 2-lambda & 11 & 2-lambda end{pmatrix} right) = (2-lambda) - 1 = 0 $$ 解得 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )，对应特征向量分别为 ( (1,1) ) 和 ( (1,-1) )。

特征值揭示了矩阵的内在性质，是分析线性变换、系统稳定性和数据模式的关键工具。