特性向量英文解釋翻譯、特性向量的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯：
【電】 eigen vector
分詞翻譯：
特的英語翻譯：
especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex
向量的英語翻譯：
vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity
專業解析
在數學與工程學中，特性向量（Eigenvector）指代線性變換中方向保持不變的向量。其定義為：對于方陣$A$，若存在非零向量$mathbf{v}$和标量$lambda$滿足
$$
Amathbf{v} = lambdamathbf{v}
$$
則$mathbf{v}$稱為$A$的特性向量，$lambda$為對應的特性值（Eigenvalue）。
核心特性與應用
- 方向不變性：特性向量在矩陣乘法變換後僅發生長度縮放，方向保持不變。這一性質在圖像壓縮、主成分分析（PCA）中用于降維。
- 物理意義：在振動分析中，特性向量對應系統固有振動模式，例如橋梁結構的共振頻率計算。
- 量子力學基礎：量子态由波函數（特性向量）描述，薛定谔方程$Hpsi = Epsi$中哈密頓算符$H$的特性向量即能量本征态（來源：MIT量子力學公開課程）。
權威參考
- 特性向量的嚴格定義可參見《線性代數及其應用》（Gilbert Strang著，Cengage出版社）第5章。
- 工程應用案例詳見美國數學學會（AMS）發布的《應用數學指南》（www.ams.org/applied-math-guide）。
注：實際應用需結合具體矩陣類型（如對稱矩陣、厄米矩陣）分析特性向量的正交性等深層性質。
網絡擴展解釋
特征向量（Eigenvector）是線性代數中的核心概念，用于描述矩陣變換中保持方向不變的非零向量。以下是詳細解釋：
一、定義
特征向量指對于一個n階方陣A，存在非零向量( mathbf{x} )和标量( lambda )，滿足方程：
$$
Amathbf{x} = lambdamathbf{x}
$$
其中：
- ( mathbf{x} )稱為矩陣A的特征向量；
- ( lambda )是對應的特征值。
通俗理解：當矩陣A作用于向量( mathbf{x} )時，僅使其長度縮放( lambda )倍，方向不變。例如，提到，若向量變換後方向相同但長度變為2倍，則2是特征值，原向量是特征向量。
二、核心性質
- 方向不變性：特征向量在矩陣變換下方向不變，僅被拉伸或壓縮（、）。
- 特征空間：同一特征值對應的所有特征向量構成線性空間。
- 正交性：不同特征值對應的特征向量線性無關，若矩陣對稱則正交。
三、計算方法
- 求特征值：解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )，得到特征值( lambda )。
- 求特征向量：對每個( lambda )，解齊次方程( (A - lambda I)mathbf{x} = 0 )，非零解即為特征向量。
四、應用場景
- 主成分分析（PCA）：通過特征向量提取數據主要變化方向，用于降維。
- 物理系統分析：如振動系統中，特征向量表示固有振動模式，特征值對應頻率。
- 圖像處理：用于圖像壓縮與特征提取。
示例說明
以矩陣( A = begin{bmatrix} 3 & 10 & 2 end{bmatrix} )為例：
- 特征值為3和2，對應特征向量分别為( begin{bmatrix} 10 end{bmatrix} )和( begin{bmatrix} -11 end{bmatrix} )；
- 變換後，這些向量僅被拉伸，方向未改變。
如需進一步了解計算步驟或具體應用，可參考、的數學推導或的實際案例。
分類
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