particular solution是什麼意思，particular solution的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

在數學和工程學領域，"particular solution"（特解）指滿足特定微分方程及給定初始條件或邊界條件的唯一解。其核心概念體現在非齊次微分方程求解過程中：通解（general solution）由齊次方程解和非齊次方程特解組成，其中特解專門對應方程的非齊次項，如方程$y'' + 4y = e^x$的特解形式通常設為$y_p = Ae^x$，通過待定系數法确定參數$A$。

該術語的應用場景包括：

1. 電路分析：求解RLC電路中受迫振蕩響應的特定分量（來源：MIT OpenCourseWare）
2. 控制系統：确定系統在特定輸入信號下的穩态輸出（來源：IEEE Xplore數字圖書館）
3. 機械振動：計算受周期性外力作用的阻尼振動響應（來源：Springer數學百科）

特解與通解的關鍵區别在于：通解包含任意常數，描述所有可能的解集合；而特解通過附加條件消除不确定性，對應物理系統的實際觀測結果（來源：American Mathematical Society）。

網絡擴展資料

在數學中，尤其是微分方程和線性代數領域，"particular solution"（特解）是一個重要概念。以下是詳細解釋：

1.基本定義

• 特解指滿足非齊次方程（如非齊次微分方程或線性方程組）的一個具體解。它不考慮初始條件或邊界條件，僅針對方程本身的非齊次項（外力、輸入等）給出特定形式的解。
• 例如：對于非齊次微分方程 $y'' + y = e^x$，假設特解形式為 $y_p = Ae^x$，通過代入方程可求出常數 $A$。

2.與通解的關系

• 通解（General Solution）由齊次方程的通解（含任意常數）加上特解構成，即： $$ y{text{通解}} = y{text{齊次解}} + y_{text{特解}} $$
• 特解的作用是補充非齊次項的影響，而齊次解覆蓋所有可能的解空間。

3.應用場景

• 微分方程：例如電路分析中，特解對應外部電源驅動的響應。
• 線性代數：非齊次方程組 $Ax = b$ 的特解是某個滿足方程的向量，通解則為齊次解（$Ax = 0$ 的解）加上該特解。

4.示例說明

以方程 $frac{dy}{dx} + y = 2$ 為例：

• 齊次解：解 $frac{dy}{dx} + y = 0$ 得 $y_h = Ce^{-x}$（含任意常數 $C$）。
• 特解：假設特解為常數 $y_p = A$，代入原方程得 $0 + A = 2 Rightarrow A = 2$。
• 通解：$y = y_h + y_p = Ce^{-x} + 2$。

5.關鍵區别

• 特解不含任意常數，而通解包含所有可能的解。
• 特解需通過非齊次項形式猜測或特定方法（如待定系數法、拉普拉斯變換）求得。

特解是非齊次方程中與輸入直接相關的解分量，與齊次解共同構成完整的通解，廣泛應用于工程和物理問題的建模。

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