holomorphic是什麼意思，holomorphic的意思翻譯、用法、同義詞、例句

holomorphic英标

英:/',hɒlə'mɔːfɪk/ 美:/',hɑlə'mɔrfɪk/

常用詞典

例句

專業解析

Holomorphic（全純）是複分析中的核心概念，描述複變函數在定義域内的一種特殊光滑性。具體而言，若複函數 ( f(z) ) 在複平面區域 ( D ) 内每一點都可導，則稱 ( f(z) ) 在 ( D ) 内是全純的。這一性質比實函數的可導性更嚴格，因為複可導性要求函數滿足柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations），即其實部和虛部在偏導數上滿足特定關系。

關鍵性質與意義

1. 解析性：全純函數在其定義域内可展開為收斂的幂級數，即局部上等價于解析函數。這一特性由柯西積分公式保證，并成為複分析與實分析的重要區别。
2. 剛性：若兩個全純函數在區域内某一點的小鄰域内取值相同，則它們在整塊區域内完全相等。這一性質稱為唯一性定理，體現了全純函數的強約束。
3. 應用領域：全純函數在量子場論、流體力學和信號處理中均有重要應用。例如，在共形場論中，全純函數用于描述二維時空的對稱性。

參考來源

• 維基百科對全純函數的定義與性質：Holomorphic Function
• MathWorld關于柯西-黎曼方程的推導：Cauchy-Riemann Equations
• Springer出版的複分析教材對解析性的證明：Complex Analysis: Theory and Applications

網絡擴展資料

Holomorphic（全純）是複分析中的核心概念，指在複平面某個開集内處處可導的複變函數。以下是其詳細解釋：

1.數學定義

• 複導數存在性：若複函數$f(z)$在點$z0$的鄰域内滿足極限$lim{h to 0} frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$存在且唯一（與$h$趨近方向無關），則稱$f$在$z_0$處全純。
• 柯西-黎曼方程：設$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，則全純需滿足偏微分方程組： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$

2.關鍵性質

• 解析性：全純函數在其定義域内可展開為收斂的幂級數（即解析函數），這是複分析與實分析的重要區别。
• 剛性：全純函數由局部性質唯一确定全局行為（如恒等定理）。
• 無奇點：與存在極點的亞純函數（meromorphic）不同，全純函數在定義域内無任何奇點。

3.應用領域

• 複幾何：描述複流形上的光滑結構。
• 物理建模：如二維流體動力學、電磁場的複勢理論。
• 數論：模形式等特殊全純函數用于研究素數分布。

4.詞源與對比

• 源自希臘語"holos"（整體）+"morphe"（形态），強調函數在整體域上的光滑性。
• 與實可導函數對比：複可導的條件更嚴格，需同時滿足實部與虛部的調和性。

5.典型例子

• 多項式函數（如$f(z)=z$）
• 指數函數$e^z$、三角函數$sin z$、$cos z$
• 對數函數的主分支（在割去分支切割的複平面上全純）

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