dot product是什麼意思，dot product的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

[數] 點積；标量積

That is the dot product.

這就是點積。

Dot Product of two vectors.

兩個向量的點乘積。

Let us take a down-to-earth example of a dot product.

舉一個點積的，現實例子。

There is another way that you can find the dot product.

另一個定義,點積的方法。

So, product rule is OK for taking the derivative of a dot product.

那麼乘積法則對點乘求導沒問題。

點積（Dot Product）是線性代數中的一種基本運算，用于計算兩個向量的标量結果。它通過将兩個向量的對應分量相乘後求和，或利用向量的模長與夾角的餘弦值來計算。具體定義如下：

數學定義
對于兩個n維向量$mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]$和$mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n]$，點積的代數形式為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + dots + a_nb_n $$ 幾何上，點積也可表示為$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta$，其中$theta$是兩向量間的夾角。
幾何意義
點積可以反映兩向量的方向關系：
- 若$mathbf{a} cdot mathbf{b} > 0$，則夾角小于90°，方向相近；
- 若$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，則向量垂直；
- 若$mathbf{a} cdot mathbf{b} < 0$，則夾角大于90°，方向相反。
應用領域
點積在工程和科學中廣泛應用，例如：
- 計算機圖形學：計算光照模型中光線與表面法向量的夾角；
- 物理學：計算力在某一方向上的做功；
- 機器學習：衡量特征向量之間的相似度。

參考來源：

可汗學院《線性代數基礎》； MIT開放課程《線性代數導論》； Wolfram MathWorld《點積》。

點積（Dot Product），也稱為标量積或内積，是線性代數中兩個向量之間的一種運算。它通過将對應分量相乘後相加得到一個标量（數值），而不是向量。以下是詳細解釋：

代數定義：
對于兩個n維向量 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]) 和 (mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n])，它們的點積為：
[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + dots + a_nb_n ]
幾何定義：
點積也可以表示為兩個向量的模長（長度）與它們夾角(theta)的餘弦的乘積：
[ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta ]

交換律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
結合标量乘法：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}))（(k)為标量）

二維向量 (mathbf{a} = [3, 4]) 和 (mathbf{b} = [1, 2]) 的點積為：
(3 times 1 + 4 times 2 = 3 + 8 = 11)
若(mathbf{a})和(mathbf{b})的模長分别為5和(sqrt{5})，夾角(theta)滿足：
(11 = 5 times sqrt{5} times costheta Rightarrow costheta = frac{11}{5sqrt{5}})

通過點積，可以高效地解決向量間的幾何和代數問題，是數學和工程領域的基礎工具。

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