dot product是什么意思，dot product的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

点积（Dot Product）是线性代数中的一种基本运算，用于计算两个向量的标量结果。它通过将两个向量的对应分量相乘后求和，或利用向量的模长与夹角的余弦值来计算。具体定义如下：

1. 数学定义

   对于两个n维向量$mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]$和$mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n]$，点积的代数形式为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + dots + a_nb_n $$ 几何上，点积也可表示为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta$，其中$theta$是两向量间的夹角。

2. 几何意义

   点积可以反映两向量的方向关系：

   • 若$mathbf{a} cdot mathbf{b} > 0$，则夹角小于90°，方向相近；
   • 若$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，则向量垂直；
   • 若$mathbf{a} cdot mathbf{b} < 0$，则夹角大于90°，方向相反。

3. 应用领域

   点积在工程和科学中广泛应用，例如：

   • 计算机图形学：计算光照模型中光线与表面法向量的夹角；
   • 物理学：计算力在某一方向上的做功；
   • 机器学习：衡量特征向量之间的相似度。

参考来源：

可汗学院《线性代数基础》； MIT开放课程《线性代数导论》； Wolfram MathWorld《点积》。

网络扩展资料

点积（Dot Product），也称为标量积或内积，是线性代数中两个向量之间的一种运算。它通过将对应分量相乘后相加得到一个标量（数值），而不是向量。以下是详细解释：

1.数学定义

• 代数定义：
  对于两个n维向量 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]) 和 (mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n])，它们的点积为：
  [ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + dots + a_nb_n ]

• 几何定义：
  点积也可以表示为两个向量的模长（长度）与它们夹角(theta)的余弦的乘积：
  [ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta ]

2.几何意义

• 夹角判断：

  • 点积为正时，两向量夹角小于90度（锐角）；
  • 点积为负时，夹角大于90度（钝角）；
  • 点积为零时，两向量垂直（正交）。

• 投影计算：
  点积可以看作一个向量在另一个向量方向上的投影长度与后者的模长的乘积。

3.主要性质

• 交换律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
• 分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
• 结合标量乘法：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}))（(k)为标量）

4.应用场景

• 物理学：计算功（力与位移的点积）。
• 计算机图形学：计算光照强度、物体表面的明暗程度。
• 机器学习：衡量向量相似性（如余弦相似度）。
• 工程学：信号处理中的相关性和投影分析。

5.示例

• 二维向量 (mathbf{a} = [3, 4]) 和 (mathbf{b} = [1, 2]) 的点积为：
  (3 times 1 + 4 times 2 = 3 + 8 = 11)
• 若(mathbf{a})和(mathbf{b})的模长分别为5和(sqrt{5})，夹角(theta)满足：
  (11 = 5 times sqrt{5} times costheta Rightarrow costheta = frac{11}{5sqrt{5}})

通过点积，可以高效地解决向量间的几何和代数问题，是数学和工程领域的基础工具。

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