combinatorics是什麼意思，combinatorics的意思翻譯、用法、同義詞、例句

combinatorics英标

英:/',kɒmbɪnə'tɒrɪks/ 美:/'ˌkɑːmbənəˈtɔːrɪks/

常用詞典

例句

同義詞

專業解析

組合數學（Combinatorics）是數學的一個核心分支，專注于研究離散（不連續）對象的排列、組合、選擇、配置以及滿足特定條件的結構的存在性、計數、構造和優化問題。它處理的是有限集合中元素的安排方式，核心在于“如何數”以及“是否存在”某種特定安排。

核心概念與研究對象：

1. 計數（Enumeration）：這是組合數學最基礎的部分，研究在特定規則下對對象進行計數的方法。例如：

   • 計算從 n 個不同物品中選取 k 個的不同方式數（組合數，由二項式系數 $binom{n}{k}$ 給出）。
   • 計算 n 個不同物品的所有可能排列數（階乘 n!）。
   • 計算将物品放入有區别或無區别的盒子中的方法數。
   • 高級計數技術包括容斥原理、生成函數、遞歸關系等。

2. 組合設計（Combinatorial Design）：研究如何将集合的元素安排到子集（稱為“區組”）中，以滿足特定的平衡或覆蓋性質。例如，實驗設計、錦标賽賽程安排、編碼理論中的糾錯碼設計（如區組設計、拉丁方、有限幾何）。

3. 圖論（Graph Theory）：研究由頂點（點）和邊（連接點的線）組成的離散結構的數學分支。圖論是組合數學的重要組成部分，用于建模和解決網絡、路徑、連通性、着色、匹配等問題（如社交網絡分析、交通規劃、電路設計）。

4. 組合優化（Combinatorial Optimization）：在有限個可行解中尋找最優解（如成本最低、效率最高）的問題。例如，旅行商問題（最短路徑）、背包問題（最優裝載）、調度問題（最優排程）。它常涉及算法設計和複雜性分析。

5. 極值組合學（Extremal Combinatorics）：研究在滿足或避免某些特定條件下，組合對象的極大或極小可能大小或結構。例如，鴿巢原理（抽屜原理）的推廣、拉姆齊理論（研究在足夠大的結構中必然出現的規律性）。

主要應用領域：

• 計算機科學：算法設計與分析（特别是非數值算法）、數據結構、計算複雜性理論、密碼學、網絡和信息論、生物信息學。
• 概率論與統計學：離散概率模型的分析、抽樣理論、隨機過程。
• 運籌學：資源分配、排程、物流優化。
• 物理學：統計力學（粒子構型計數）、量子場論。
• 信息論與編碼理論：設計高效可靠的通信編碼方案。
• 離散與計算幾何：研究點、線、多邊形等離散幾何對象的組合性質。
• 代數：群論、表示論、交換代數中的組合結構。

權威定義參考：

• 美國數學學會（AMS）數學主題分類（MSC2020）：将組合數學（Combinatorics）歸類于主要分類號05，涵蓋組合數學的所有子領域。
• 《斯坦福大學計算機科學中的數學課程》：明确将組合數學（Combinatorics）作為離散數學的核心組成部分，強調其在計數、概率基礎和算法分析中的基礎作用。
• 《英國數學學會（LMS）期刊摘要》：在相關組合數學論文的摘要中，通常将其描述為“研究離散結構的數學分支”，涉及計數、排列、設計和圖論等。
• 《維基百科“Combinatorics”詞條》（作為廣泛認可的概述）：開篇即定義“Combinatorics is an area of mathematics primarily concerned with counting, both as a means and an end in obtaining results, and certain properties of finite structures.”（組合數學是數學的一個領域，主要涉及計數——既作為獲得結果的手段也作為目的——以及有限結構的某些性質。）

組合數學是研究離散對象安排、選擇、計數、存在性和優化問題的數學分支。它提供了一套強大的工具和理論，用于理解和解決計算機科學、運籌學、統計學、物理學等多個領域中涉及有限選擇和配置的實際問題與理論問題。其核心在于處理有限性、離散性和滿足特定約束的結構。

來源：

1. Stanford University - Mathematics for Computer Science (Course Notes, Chapter on Counting): https://cs.stanford.edu/people/eroberts/courses/soco/projects/1999-00/combinatorics/index.html
2. London Mathematical Society (LMS) Journal Abstracts (Example: Combinatorics, Probability and Computing): https://www.cambridge.org/core/journals/combinatorics-probability-and-computing
3. American Mathematical Society (AMS) - Mathematics Subject Classification (MSC2020 - Section 05): https://mathscinet.ams.org/msc/msc2020.html?t=05-XX
4. Wikipedia - "Combinatorics": https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics

網絡擴展資料

Combinatorics（組合數學）是數學的一個分支，主要研究離散對象的結構、計數、排列與組合，其核心在于分析有限或可數無限集合中元素的可能配置方式。該詞源自拉丁語“combinare”（意為“結合”），強調對對象組合方式的系統性研究。

核心概念與領域

1. 枚舉組合學（Enumerative Combinatorics）
   研究如何高效計算特定結構的數量，例如排列（有序排列）和組合（無序選擇）。例如，從$n$個元素中選$k$個的排列數為：
   $$P(n,k) = frac{n!}{(n-k)!}$$
   組合數為：
   $$C(n,k) = frac{n!}{k!(n-k)!}$$

2. 圖論（Graph Theory）
   研究由節點（頂點）和邊構成的網絡結構，應用于算法設計（如最短路徑問題）和社會網絡分析。

3. 設計理論（Design Theory）
   探索如何将元素組織成特定模式的集合，例如拉丁方（每個符號在每行每列僅出現一次）或實驗設計中的平衡分組。

應用領域

• 計算機科學：算法複雜度分析、密碼學（如隨機數生成）。
• 統計學：抽樣方法、實驗設計（如隨機化控制試驗）。
• 運籌學：資源分配與優化問題（如裝箱問題、調度問題）。

經典問題示例

• 旅行商問題：尋找訪問多個城市的最短回路。
• 鴿巢原理：證明若物品數超過容器數，至少一個容器需裝多個物品。

組合數學因其抽象性與實用性，成為現代數學與計算機科學的基石之一。

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