[數] 雙線性變換
This paper presents a stable algorithm to obtain the rational approximation from a set of sampled data by the use of bilinear transformation of the complex frequency.
本文通過複頻率的雙線性變換提出了獲得穩定有理逼近的一個新方法，可有效克服這一困難。
Bilinear time-frequency transformation has become an important processing tool for non-stationary signal.
雙線性時間-頻率分布是非平穩信號處理的重要工具。
Similarity transformation method is used to convert a bilinear matrix inequality problem into a linear matrix inequality(LMI) problem.
針對設計過程中的雙線性矩陣不等式問題，采用相似變換法将其轉化為線性矩陣不等式（LMI）問題。
A design method of switched-current(SI)ladder filters using the bilinear transformation is proposed.
本文提出了一種用雙線性變換進行開關電流（SI）梯形濾波器設計的方法。
Finally, the rigid transformation and bilinear interpolation in the image prepared for registration is carried out to realize image registration.
最後對待配準圖像進行剛體變換及雙線性插值，從而實現圖像配準。
雙線性變換（Bilinear Transformation），也稱為塔斯廷變換（Tustin's Method），是數字信號處理和控制系統設計中一種重要的數學工具，主要用于将連續時間系統（模拟系統）轉換為離散時間系統（數字系統）。其核心思想是通過一種特定的映射關系，将複平面上的s域（拉普拉斯變換域）映射到z域（Z變換域）。
雙線性變換通過以下分式線性函數實現s域到z域的映射： $$ s = frac{2}{T} frac{z-1}{z+1} $$ 其中：
該映射将s平面的左半平面（對應穩定系統）一一對應地映射到z平面的單位圓内部，從而保證穩定性不變。然而，它也會引入頻率畸變（Frequency Warping），即模拟頻率 $omega_a$ 與數字頻率 $omega_d$ 的關系為： $$ omega_a = frac{2}{T} tan left( frac{omega_d T}{2} right) $$ 這一特性需要在濾波器設計中通過預畸變（Pre-warping）補償。
映射将s平面虛軸映射到z平面單位圓，且左半平面映射到單位圓内，确保穩定模拟系統轉換後仍穩定。
與脈沖響應不變法不同，雙線性變換完全避免高頻混疊，適用于任意頻率響應系統。
變換後系統函數為有理分式形式，可直接将模拟傳遞函數 $H(s)$ 轉換為數字傳遞函數 $H(z)$： $$ H(z) = H(s) bigg|_{s=frac{2}{T}frac{z-1}{z+1}} $$
廣泛用于将巴特沃斯、切比雪夫等模拟濾波器轉換為IIR數字濾波器，例如音頻處理中的低通濾波器設計。
在自動駕駛、機器人控制中，将連續控制器模型（如PID）轉換為數字實現形式。
變換本質是梯形積分法的Z域體現，用于微分方程的離散求解： $$ frac{d}{dt}x(t) rightarrow frac{2}{T}frac{z-1}{z+1}X(z) $$
Oppenheim與Schafer所著《Discrete-Time Signal Processing》詳細推導其數學基礎及設計案例。
在IEEE Transactions on Signal Processing中，雙線性變換被列為IIR濾波器設計的基準方法之一。
MATLAB的c2d函數與Python SciPy的cont2discrete模塊均内置該變換算法，用于工業級系統設計。
參考文獻來源
雙線性變換（Bilinear Transformation） 是一種将連續時間系統（模拟系統）轉換為離散時間系統（數字系統）的數學方法，廣泛應用于數字信號處理、控制系統設計和濾波器設計等領域。以下是其核心要點：
雙線性變換通過将拉普拉斯域（s域）映射到Z域（z域），實現模拟傳遞函數到數字傳遞函數的轉換。其基本公式為： $$ s = frac{2}{T} cdot frac{z - 1}{z + 1} $$ 其中，( T ) 為采樣周期，( z ) 為離散域的複變量，( s ) 為連續域的複變量。逆變換則為： $$ z = frac{1 + frac{T}{2}s}{1 - frac{T}{2}s} $$
| 優點 | 缺點 |
|---|---|
| 無混疊，穩定性保留 | 高頻段非線性畸變需預校正 |
| 適用于低通、帶通等濾波器設計 | 不適用于需要線性相位的系統 |
| 計算簡單，易于實現 | 對瞬态響應可能引入失真 |
若需将模拟傳遞函數 ( H(s) = frac{1}{s + 1} ) 轉換為數字系統（設 ( T = 1 )），代入公式得： $$ H(z) = frac{1}{frac{2(z-1)}{z+1} + 1} = frac{z + 1}{3z - 1} $$
雙線性變換是連接連續與離散系統的重要工具，需權衡其頻率畸變特性與穩定性優勢，適用于對混疊敏感的場景（如音頻處理）。實際應用中需結合預畸變技術确保頻率響應準确性。
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