[数] 双线性变换
This paper presents a stable algorithm to obtain the rational approximation from a set of sampled data by the use of bilinear transformation of the complex frequency.
本文通过复频率的双线性变换提出了获得稳定有理逼近的一个新方法，可有效克服这一困难。
Bilinear time-frequency transformation has become an important processing tool for non-stationary signal.
双线性时间-频率分布是非平稳信号处理的重要工具。
Similarity transformation method is used to convert a bilinear matrix inequality problem into a linear matrix inequality(LMI) problem.
针对设计过程中的双线性矩阵不等式问题，采用相似变换法将其转化为线性矩阵不等式（LMI）问题。
A design method of switched-current(SI)ladder filters using the bilinear transformation is proposed.
本文提出了一种用双线性变换进行开关电流（SI）梯形滤波器设计的方法。
Finally, the rigid transformation and bilinear interpolation in the image prepared for registration is carried out to realize image registration.
最后对待配准图像进行刚体变换及双线性插值，从而实现图像配准。
双线性变换（Bilinear Transformation），也称为塔斯廷变换（Tustin's Method），是数字信号处理和控制系统设计中一种重要的数学工具，主要用于将连续时间系统（模拟系统）转换为离散时间系统（数字系统）。其核心思想是通过一种特定的映射关系，将复平面上的s域（拉普拉斯变换域）映射到z域（Z变换域）。
双线性变换通过以下分式线性函数实现s域到z域的映射： $$ s = frac{2}{T} frac{z-1}{z+1} $$ 其中：
该映射将s平面的左半平面（对应稳定系统）一一对应地映射到z平面的单位圆内部，从而保证稳定性不变。然而，它也会引入频率畸变（Frequency Warping），即模拟频率 $omega_a$ 与数字频率 $omega_d$ 的关系为： $$ omega_a = frac{2}{T} tan left( frac{omega_d T}{2} right) $$ 这一特性需要在滤波器设计中通过预畸变（Pre-warping）补偿。
映射将s平面虚轴映射到z平面单位圆，且左半平面映射到单位圆内，确保稳定模拟系统转换后仍稳定。
与脉冲响应不变法不同，双线性变换完全避免高频混叠，适用于任意频率响应系统。
变换后系统函数为有理分式形式，可直接将模拟传递函数 $H(s)$ 转换为数字传递函数 $H(z)$： $$ H(z) = H(s) bigg|_{s=frac{2}{T}frac{z-1}{z+1}} $$
广泛用于将巴特沃斯、切比雪夫等模拟滤波器转换为IIR数字滤波器，例如音频处理中的低通滤波器设计。
在自动驾驶、机器人控制中，将连续控制器模型（如PID）转换为数字实现形式。
变换本质是梯形积分法的Z域体现，用于微分方程的离散求解： $$ frac{d}{dt}x(t) rightarrow frac{2}{T}frac{z-1}{z+1}X(z) $$
Oppenheim与Schafer所著《Discrete-Time Signal Processing》详细推导其数学基础及设计案例。
在IEEE Transactions on Signal Processing中，双线性变换被列为IIR滤波器设计的基准方法之一。
MATLAB的c2d函数与Python SciPy的cont2discrete模块均内置该变换算法，用于工业级系统设计。
参考文献来源
双线性变换（Bilinear Transformation） 是一种将连续时间系统（模拟系统）转换为离散时间系统（数字系统）的数学方法，广泛应用于数字信号处理、控制系统设计和滤波器设计等领域。以下是其核心要点：
双线性变换通过将拉普拉斯域（s域）映射到Z域（z域），实现模拟传递函数到数字传递函数的转换。其基本公式为： $$ s = frac{2}{T} cdot frac{z - 1}{z + 1} $$ 其中，( T ) 为采样周期，( z ) 为离散域的复变量，( s ) 为连续域的复变量。逆变换则为： $$ z = frac{1 + frac{T}{2}s}{1 - frac{T}{2}s} $$
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| 无混叠，稳定性保留 | 高频段非线性畸变需预校正 |
| 适用于低通、带通等滤波器设计 | 不适用于需要线性相位的系统 |
| 计算简单，易于实现 | 对瞬态响应可能引入失真 |
若需将模拟传递函数 ( H(s) = frac{1}{s + 1} ) 转换为数字系统（设 ( T = 1 )），代入公式得： $$ H(z) = frac{1}{frac{2(z-1)}{z+1} + 1} = frac{z + 1}{3z - 1} $$
双线性变换是连接连续与离散系统的重要工具，需权衡其频率畸变特性与稳定性优势，适用于对混叠敏感的场景（如音频处理）。实际应用中需结合预畸变技术确保频率响应准确性。
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