斐波纳契法英文解释翻译、斐波纳契法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Fibonacci method

分词翻译：

波的英语翻译：

wave
【化】 wave
【医】 deflection; flumen; flumina; kymo-; wave

纳的英语翻译：

accept; admit; receive
【计】 nano

契的英语翻译：

agree; contract; deed; engrave

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

斐波纳契法（Fibonacci Method），在数学优化领域，特指一种基于斐波那契数列（Fibonacci Sequence）的单变量函数一维搜索（线搜索）算法，用于在给定区间内寻找单峰函数的极小值点。其核心思想是利用斐波那契数列的特性，以最少的函数计算次数，高效地缩小包含最优解的区间。

核心原理与过程：

斐波那契数列基础：斐波那契数列定义为：$F_0 = 0, F_1 = 1$，且 $Fn = F{n-1} + F{n-2} (n geq 2)$。序列为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 该数列具有性质 $lim{n to infty} frac{F_{n-1}}{F_n} = frac{sqrt{5}-1}{2} approx 0.618$（黄金分割比）。
区间分割策略：假设初始搜索区间为 $[a_1, b_1]$，要求最终区间长度小于给定精度 $epsilon$。算法预先确定需要迭代的总次数 $n$（使得 $F_n > frac{b_1 - a_1}{epsilon}$）。在每一步迭代 $k$：
- 根据剩余迭代次数确定分割比例 $rk = frac{F{n-k}}{F_{n-k+1}}$ 或 $1 - r_k$。
- 在区间 $[a_k, b_k]$ 内对称地选取两个试探点： $$ lambda_k = ak + frac{F{n-k-1}}{F_{n-k+1}} (b_k - a_k) $$ $$ mu_k = ak + frac{F{n-k}}{F_{n-k+1}} (b_k - a_k) $$
- 计算函数值 $f(lambda_k)$ 和 $f(mu_k)$。
- 比较函数值：
  - 若 $f(lambda_k) > f(mu_k)$，则极小点在 $[lambda_k, bk]$，令 $a{k+1} = lambdak, b{k+1} = b_k$。
  - 若 $f(lambda_k) leq f(mu_k)$，则极小点在 $[a_k, muk]$，令 $a{k+1} = ak, b{k+1} = mu_k$。
- 利用斐波那契数列的性质，新区间内总包含一个上一步的试探点，使得下一步只需计算一个新的函数值。
收敛与效率：经过 $n-1$ 次迭代（计算 $n$ 次函数值），最终区间长度缩小为初始长度的 $frac{1}{F_n}$。斐波纳契法在固定计算次数下能获得最小可能的最终区间长度，是所有区间消去法中效率最高的（在函数计算次数固定的前提下）。

主要应用场景：

一维非线性优化问题，特别是当函数计算代价高昂时。
作为其他优化算法（如梯度法、牛顿法）中的线搜索步骤。
工程优化设计、参数估计等需要高效一维搜索的领域。

优势特点：

最优性：在预先确定函数计算次数的前提下，它能保证最终区间最小。
高效性：每次迭代只需计算一次新函数值（除第一步外）。
确定性：迭代步长由斐波那契数预先确定，不依赖函数的具体形态。

汉英术语对照：

斐波纳契法 / 斐波那契法： Fibonacci (Search) Method
斐波那契数列： Fibonacci Sequence / Fibonacci Numbers
一维搜索： One-Dimensional Search / Line Search
单峰函数： Unimodal Function
区间消去法： Interval Elimination Method
极小值点： Minimum Point
试探点： Test Points / Trial Points
收敛： Convergence
黄金分割比： Golden Ratio

参考来源：

《运筹学》（清华大学出版社） - 非线性规划章节详细介绍了斐波那契法的原理、步骤和最优性证明。
Numerical Optimization (Jorge Nocedal & Stephen J. Wright, Springer) - 经典优化教材，在 Line Search Methods 部分对 Fibonacci 方法有严谨论述。
MathWorld by Wolfram Research - Fibonacci Number 和 Golden Ratio 词条提供了斐波那契数列的数学定义和性质。 (概念基础)
IEEE Xplore Digital Library - 可搜索关于 Fibonacci Search 在工程优化中应用的最新研究论文。 (应用实例)
Encyclopedia of Mathematics (EMS Press) - 提供了对 Fibonacci Search Method 的数学定义和背景。 (权威定义)

网络扩展解释

斐波纳契法（Fibonacci Method）是一种基于斐波那契数列的一维优化算法，主要用于在单峰函数区间内寻找极值点（如最小值或最大值）。其核心思想是通过逐步缩小区间范围，以最少的函数计算次数逼近极值点。以下是详细解释：

1.基本概念

斐波那契数列：数列中每个数是前两个数之和，即 ( F_0 = 0, F1 = 1, F{n} = F{n-1} + F{n-2} )（如 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…）。
应用场景：单变量单峰函数的极值搜索，例如在工程设计、经济学模型优化中确定最优参数。

2.算法原理

区间缩小策略：通过选择两个对称点 ( x_1, x_2 )，比较函数值 ( f(x_1) ) 和 ( f(x_2) )，丢弃不包含极值的子区间，保留剩余区间重复此过程。
斐波那契数的意义：确定每次迭代时对称点的位置，使得剩余区间长度与初始区间长度的比值由斐波那契数控制，保证效率最优。

3.具体步骤

假设在初始区间 ([a, b]) 内寻找最小值，迭代次数为 ( n )：

初始化：计算前 ( n+1 ) 个斐波那契数 ( F_0, F_1, ..., F_n )。
确定初始点： $$ x1 = a + frac{F{n-2}}{F_n}(b-a) x2 = a + frac{F{n-1}}{F_n}(b-a) $$
比较函数值：若 ( f(x_1) < f(x_2) )，则极值在 ([a, x_2]) 内，否则在 ([x_1, b]) 内。
更新区间：根据比较结果缩小区间，并减少 ( n ) 的值，重复直到 ( n=0 )。

4.与黄金分割法的对比

相似性：两者均通过对称点缩小区间，适用于单峰函数。
区别：
- 斐波纳契法需预先确定迭代次数 ( n )，而黄金分割法可无限迭代。
- 斐波纳契法在固定 ( n ) 下效率略高于黄金分割法，但后者更灵活。

5.示例

假设在区间 ([0, 10]) 寻找 ( f(x) ) 的最小值，迭代次数 ( n=5 )：

斐波那契数：( F_5=5, F_4=3, F_3=2 )。
初始点：( x_1=0 + (3/5)×10=6 )，( x_2=0 + (5/5)×10=10 )。
比较 ( f(6) ) 和 ( f(10) )，假设 ( f(6) ) 更小，则新区间为 ([0, 10×3/5]=)，继续迭代。

斐波纳契法通过斐波那契数列指导区间划分，以有限步骤高效逼近极值，尤其适合需要严格控制计算次数的场景。其数学基础扎实，但实际应用中常被黄金分割法替代，后者无需预设迭代次数且实现更简单。