斐波納契法英文解釋翻譯、斐波納契法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Fibonacci method

分詞翻譯：

波的英語翻譯：

wave
【化】 wave
【醫】 deflection; flumen; flumina; kymo-; wave

納的英語翻譯：

accept; admit; receive
【計】 nano

契的英語翻譯：

agree; contract; deed; engrave

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

斐波納契法（Fibonacci Method），在數學優化領域，特指一種基于斐波那契數列（Fibonacci Sequence）的單變量函數一維搜索（線搜索）算法，用于在給定區間内尋找單峰函數的極小值點。其核心思想是利用斐波那契數列的特性，以最少的函數計算次數，高效地縮小包含最優解的區間。

核心原理與過程：

斐波那契數列基礎：斐波那契數列定義為：$F_0 = 0, F_1 = 1$，且 $Fn = F{n-1} + F{n-2} (n geq 2)$。序列為：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 該數列具有性質 $lim{n to infty} frac{F_{n-1}}{F_n} = frac{sqrt{5}-1}{2} approx 0.618$（黃金分割比）。
區間分割策略：假設初始搜索區間為 $[a_1, b_1]$，要求最終區間長度小于給定精度 $epsilon$。算法預先确定需要疊代的總次數 $n$（使得 $F_n > frac{b_1 - a_1}{epsilon}$）。在每一步疊代 $k$：
- 根據剩餘疊代次數确定分割比例 $rk = frac{F{n-k}}{F_{n-k+1}}$ 或 $1 - r_k$。
- 在區間 $[a_k, b_k]$ 内對稱地選取兩個試探點： $$ lambda_k = ak + frac{F{n-k-1}}{F_{n-k+1}} (b_k - a_k) $$ $$ mu_k = ak + frac{F{n-k}}{F_{n-k+1}} (b_k - a_k) $$
- 計算函數值 $f(lambda_k)$ 和 $f(mu_k)$。
- 比較函數值：
  - 若 $f(lambda_k) > f(mu_k)$，則極小點在 $[lambda_k, bk]$，令 $a{k+1} = lambdak, b{k+1} = b_k$。
  - 若 $f(lambda_k) leq f(mu_k)$，則極小點在 $[a_k, muk]$，令 $a{k+1} = ak, b{k+1} = mu_k$。
- 利用斐波那契數列的性質，新區間内總包含一個上一步的試探點，使得下一步隻需計算一個新的函數值。
收斂與效率：經過 $n-1$ 次疊代（計算 $n$ 次函數值），最終區間長度縮小為初始長度的 $frac{1}{F_n}$。斐波納契法在固定計算次數下能獲得最小可能的最終區間長度，是所有區間消去法中效率最高的（在函數計算次數固定的前提下）。

主要應用場景：

一維非線性優化問題，特别是當函數計算代價高昂時。
作為其他優化算法（如梯度法、牛頓法）中的線搜索步驟。
工程優化設計、參數估計等需要高效一維搜索的領域。

優勢特點：

最優性：在預先确定函數計算次數的前提下，它能保證最終區間最小。
高效性：每次疊代隻需計算一次新函數值（除第一步外）。
确定性：疊代步長由斐波那契數預先确定，不依賴函數的具體形态。

漢英術語對照：

斐波納契法 / 斐波那契法： Fibonacci (Search) Method
斐波那契數列： Fibonacci Sequence / Fibonacci Numbers
一維搜索： One-Dimensional Search / Line Search
單峰函數： Unimodal Function
區間消去法： Interval Elimination Method
極小值點： Minimum Point
試探點： Test Points / Trial Points
收斂： Convergence
黃金分割比： Golden Ratio

參考來源：

《運籌學》（清華大學出版社） - 非線性規劃章節詳細介紹了斐波那契法的原理、步驟和最優性證明。
Numerical Optimization (Jorge Nocedal & Stephen J. Wright, Springer) - 經典優化教材，在 Line Search Methods 部分對 Fibonacci 方法有嚴謹論述。
MathWorld by Wolfram Research - Fibonacci Number 和 Golden Ratio 詞條提供了斐波那契數列的數學定義和性質。 (概念基礎)
IEEE Xplore Digital Library - 可搜索關于 Fibonacci Search 在工程優化中應用的最新研究論文。 (應用實例)
Encyclopedia of Mathematics (EMS Press) - 提供了對 Fibonacci Search Method 的數學定義和背景。 (權威定義)

網絡擴展解釋

斐波納契法（Fibonacci Method）是一種基于斐波那契數列的一維優化算法，主要用于在單峰函數區間内尋找極值點（如最小值或最大值）。其核心思想是通過逐步縮小區間範圍，以最少的函數計算次數逼近極值點。以下是詳細解釋：

1.基本概念

斐波那契數列：數列中每個數是前兩個數之和，即 ( F_0 = 0, F1 = 1, F{n} = F{n-1} + F{n-2} )（如 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…）。
應用場景：單變量單峰函數的極值搜索，例如在工程設計、經濟學模型優化中确定最優參數。

2.算法原理

區間縮小策略：通過選擇兩個對稱點 ( x_1, x_2 )，比較函數值 ( f(x_1) ) 和 ( f(x_2) )，丢棄不包含極值的子區間，保留剩餘區間重複此過程。
斐波那契數的意義：确定每次疊代時對稱點的位置，使得剩餘區間長度與初始區間長度的比值由斐波那契數控制，保證效率最優。

3.具體步驟

假設在初始區間 ([a, b]) 内尋找最小值，疊代次數為 ( n )：

初始化：計算前 ( n+1 ) 個斐波那契數 ( F_0, F_1, ..., F_n )。
确定初始點： $$ x1 = a + frac{F{n-2}}{F_n}(b-a) x2 = a + frac{F{n-1}}{F_n}(b-a) $$
比較函數值：若 ( f(x_1) < f(x_2) )，則極值在 ([a, x_2]) 内，否則在 ([x_1, b]) 内。
更新區間：根據比較結果縮小區間，并減少 ( n ) 的值，重複直到 ( n=0 )。

4.與黃金分割法的對比

相似性：兩者均通過對稱點縮小區間，適用于單峰函數。
區别：
- 斐波納契法需預先确定疊代次數 ( n )，而黃金分割法可無限疊代。
- 斐波納契法在固定 ( n ) 下效率略高于黃金分割法，但後者更靈活。

5.示例

假設在區間 ([0, 10]) 尋找 ( f(x) ) 的最小值，疊代次數 ( n=5 )：

斐波那契數：( F_5=5, F_4=3, F_3=2 )。
初始點：( x_1=0 + (3/5)×10=6 )，( x_2=0 + (5/5)×10=10 )。
比較 ( f(6) ) 和 ( f(10) )，假設 ( f(6) ) 更小，則新區間為 ([0, 10×3/5]=)，繼續疊代。

斐波納契法通過斐波那契數列指導區間劃分，以有限步驟高效逼近極值，尤其適合需要嚴格控制計算次數的場景。其數學基礎紮實，但實際應用中常被黃金分割法替代，後者無需預設疊代次數且實現更簡單。