二元正态分布英文解释翻译、二元正态分布的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 bivariate normal distribution

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

元的英语翻译：

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【经】 dollar; yuan

正态分布的英语翻译：

normal school
【计】 normal distribution
【化】 Gaussian distribution; normal distribution
【经】 normal distribution

专业解析

二元正态分布（Bivariate Normal Distribution）是统计学中描述两个随机变量联合概率分布的重要模型。当两个随机变量均服从正态分布，且它们的任意线性组合也服从正态分布时，其联合分布即为二元正态分布。该分布由五个参数决定：两个变量的均值（(mu_X, mu_Y)）、方差（(sigma_X, sigma_Y)）以及相关系数（(rho)）。其概率密度函数（PDF）为：

$$ f(x,y) = frac{1}{2pisigma_Xsigma_Ysqrt{1-rho}} expleft(-frac{1}{2(1-rho)}left[ frac{(x-mu_X)}{sigma_X} + frac{(y-mu_Y)}{sigma_Y} - frac{2rho(x-mu_X)(y-mu_Y)}{sigma_Xsigma_Y} right]right) $$

核心特性与意义

边缘分布的正态性
每个变量的边缘分布仍是正态分布，即 (X sim N(mu_X, sigma_X))，(Y sim N(mu_Y, sigma_Y))。

条件分布的正态性
给定一个变量的取值，另一个变量的条件分布也是正态分布。例如，(Y|X=x) 的均值与方差依赖于 (rho) 和 (x)。

相关系数 (rho) 的作用
(rho) 衡量两个变量的线性相关程度（(-1 leq rho leq 1)）。若 (rho = 0)，则两变量独立；若 (rho = pm 1)，则存在确定性线性关系。

应用场景
广泛应用于金融（资产收益率建模）、工程（误差分析）、气象（温湿度关联性研究）等领域，例如分析身高与体重的联合分布。

权威参考文献

定义与公式：美国国家标准与技术研究院（NIST）《工程统计学手册》。
性质证明：Casella & Berger 《统计推断》（Statistical Inference）第4章。
实际应用：金融风险管理中的相关性建模（Hull 《期权、期货及其他衍生产品》)。

网络扩展解释

二元正态分布（又称二维正态分布）是统计学中描述两个随机变量联合分布的概率模型，常用于分析变量间的线性相关性。以下是其核心要点：

1. 概率密度函数

二元正态分布的密度函数公式为： $$ f(x, y) = frac{1}{2pisigma_1sigma_2sqrt{1-rho}} expleft( -frac{1}{2(1-rho)} left[ frac{(x-mu_1)}{sigma_1} + frac{(y-mu_2)}{sigma_2} - frac{2rho(x-mu_1)(y-mu_2)}{sigma_1sigma_2} right] right) $$ 其中：

(mu_1, mu_2)：两个变量的均值，决定分布的中心位置。
(sigma_1, sigma_2)：两个变量的方差，反映数据的离散程度。
(rho)：相关系数（(-1 leq rho leq 1)），衡量变量间的线性相关性。

2. 核心性质

边缘分布：每个变量的边缘分布仍是正态分布。例如，(X sim N(mu_1, sigma_1))，(Y sim N(mu_2, sigma_2))。
条件分布：给定一个变量时，另一个变量的条件分布也是正态的。
独立性：若(rho=0)，则两变量独立，联合密度函数可分解为两个边缘密度的乘积。
协方差矩阵：协方差矩阵为(begin{pmatrix} sigma_1 & rhosigma_1sigma_2rhosigma_1sigma_2 & sigma_2 end{pmatrix})，需满足正定性。

3. 几何特征

等高线：密度函数的等高线是椭圆。椭圆形状由(rho)决定：
- (rho=0)时退化为圆形；
- (|rho|)越大，椭圆越扁长；
- (rho>0)时椭圆沿主对角线方向，(rho<0)时沿副对角线方向。
密度曲面：呈钟形曲面，峰值在((mu_1, mu_2))处。

4. 应用场景

金融：分析股票收益率间的相关性。
社会科学：研究身高与体重、收入与教育程度等变量关系。
质量控制：监控两个相关生产指标的联合波动。

5. 注意事项

非线性关系：二元正态分布仅描述线性相关性，无法捕捉非线性关联。
联合正态性：即使两变量各自服从正态分布，其联合分布未必是二元正态的。

如需进一步数学推导或实例计算，可结合具体问题补充说明。