二元正态分布英文解釋翻譯、二元正态分布的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 bivariate normal distribution

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

元的英語翻譯：

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【經】 dollar; yuan

正态分布的英語翻譯：

normal school
【計】 normal distribution
【化】 Gaussian distribution; normal distribution
【經】 normal distribution

專業解析

二元正态分布（Bivariate Normal Distribution）是統計學中描述兩個隨機變量聯合概率分布的重要模型。當兩個隨機變量均服從正态分布，且它們的任意線性組合也服從正态分布時，其聯合分布即為二元正态分布。該分布由五個參數決定：兩個變量的均值（(mu_X, mu_Y)）、方差（(sigma_X, sigma_Y)）以及相關系數（(rho)）。其概率密度函數（PDF）為：

$$ f(x,y) = frac{1}{2pisigma_Xsigma_Ysqrt{1-rho}} expleft(-frac{1}{2(1-rho)}left[ frac{(x-mu_X)}{sigma_X} + frac{(y-mu_Y)}{sigma_Y} - frac{2rho(x-mu_X)(y-mu_Y)}{sigma_Xsigma_Y} right]right) $$

核心特性與意義

邊緣分布的正态性
每個變量的邊緣分布仍是正态分布，即 (X sim N(mu_X, sigma_X))，(Y sim N(mu_Y, sigma_Y))。

條件分布的正态性
給定一個變量的取值，另一個變量的條件分布也是正态分布。例如，(Y|X=x) 的均值與方差依賴于 (rho) 和 (x)。

相關系數 (rho) 的作用
(rho) 衡量兩個變量的線性相關程度（(-1 leq rho leq 1)）。若 (rho = 0)，則兩變量獨立；若 (rho = pm 1)，則存在确定性線性關系。

應用場景
廣泛應用于金融（資産收益率建模）、工程（誤差分析）、氣象（溫濕度關聯性研究）等領域，例如分析身高與體重的聯合分布。

權威參考文獻

定義與公式：美國國家标準與技術研究院（NIST）《工程統計學手冊》。
性質證明：Casella & Berger 《統計推斷》（Statistical Inference）第4章。
實際應用：金融風險管理中的相關性建模（Hull 《期權、期貨及其他衍生産品》)。

網絡擴展解釋

二元正态分布（又稱二維正态分布）是統計學中描述兩個隨機變量聯合分布的概率模型，常用于分析變量間的線性相關性。以下是其核心要點：

1. 概率密度函數

二元正态分布的密度函數公式為： $$ f(x, y) = frac{1}{2pisigma_1sigma_2sqrt{1-rho}} expleft( -frac{1}{2(1-rho)} left[ frac{(x-mu_1)}{sigma_1} + frac{(y-mu_2)}{sigma_2} - frac{2rho(x-mu_1)(y-mu_2)}{sigma_1sigma_2} right] right) $$ 其中：

(mu_1, mu_2)：兩個變量的均值，決定分布的中心位置。
(sigma_1, sigma_2)：兩個變量的方差，反映數據的離散程度。
(rho)：相關系數（(-1 leq rho leq 1)），衡量變量間的線性相關性。

2. 核心性質

邊緣分布：每個變量的邊緣分布仍是正态分布。例如，(X sim N(mu_1, sigma_1))，(Y sim N(mu_2, sigma_2))。
條件分布：給定一個變量時，另一個變量的條件分布也是正态的。
獨立性：若(rho=0)，則兩變量獨立，聯合密度函數可分解為兩個邊緣密度的乘積。
協方差矩陣：協方差矩陣為(begin{pmatrix} sigma_1 & rhosigma_1sigma_2rhosigma_1sigma_2 & sigma_2 end{pmatrix})，需滿足正定性。

3. 幾何特征

等高線：密度函數的等高線是橢圓。橢圓形狀由(rho)決定：
- (rho=0)時退化為圓形；
- (|rho|)越大，橢圓越扁長；
- (rho>0)時橢圓沿主對角線方向，(rho<0)時沿副對角線方向。
密度曲面：呈鐘形曲面，峰值在((mu_1, mu_2))處。

4. 應用場景

金融：分析股票收益率間的相關性。
社會科學：研究身高與體重、收入與教育程度等變量關系。
質量控制：監控兩個相關生産指标的聯合波動。

5. 注意事項

非線性關系：二元正态分布僅描述線性相關性，無法捕捉非線性關聯。
聯合正态性：即使兩變量各自服從正态分布，其聯合分布未必是二元正态的。

如需進一步數學推導或實例計算，可結合具體問題補充說明。