狄利克雷问题英文解释翻译、狄利克雷问题的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Dirichlet problem

分词翻译：

利的英语翻译：

benefit; favourable; profit; sharp

克的英语翻译：

gram; gramme; overcome; restrain
【医】 G.; Gm.; gram; gramme

雷的英语翻译：

mine; thunder
【电】 thunder

问题的英语翻译：

issue; problem; question; trouble
【计】 sieve problem
【经】 subject

专业解析

狄利克雷问题（Dirichlet Problem）是数学分析中经典的边值问题，其核心在于求解满足特定边界条件的调和函数。该问题得名于德国数学家彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet），属于偏微分方程领域的重要研究课题。

数学定义与形式化描述

在三维空间中，狄利克雷问题可表述为：给定区域$Omega subset mathbb{R}$及其边界$partialOmega$上的连续函数$g$，求存在唯一解$u:overline{Omega} to mathbb{R}$，使得： $$ Delta u = 0 quad text{在} Omega text{内} $$ $$ u|_{partialOmega} = g $$ 其中$Delta$为拉普拉斯算子，该方程描述无源场（如静电场或稳态热传导）的分布规律。

物理意义与应用领域

静电学：求解导体表面电势确定的电场分布（参考《数学物理方法》第三版）
流体力学：分析不可压缩流体的稳态流动
地球物理学：重力场与地磁场的建模计算
图像处理：应用于图像修复的边缘延拓技术

理论发展里程碑

1900年希尔伯特在巴黎国际数学家大会将其列为23个数学问题之一
1904年佐恩提出极大值原理奠定存在性证明基础
1950年代索伯列夫空间理论推动弱解研究（《偏微分方程讲义》Springer出版社）

该问题的解法包括泊松积分公式、变分方法及现代有限元数值解法，其研究持续推动着椭圆型方程理论的发展。

网络扩展解释

狄利克雷问题（Dirichlet problem）是数学物理方法中的经典边值问题，主要研究如何在给定区域内求解满足特定边界条件的偏微分方程解。以下是其核心要点：

定义与数学表述

狄利克雷问题要求找到一个函数 ( u )，使其在区域 ( D ) 内满足拉普拉斯方程（或更一般的椭圆型方程），并在边界 ( partial D ) 上取预定值。其标准形式为： $$

abla u = 0 quad (x in D), quad u|_{partial D} = f(x), $$ 其中 ( f(x) ) 是定义在边界上的已知函数，( abla ) 是拉普拉斯算子。

解的存在性与唯一性

存在性：早期狄利克雷利用变分法（狄利克雷原理）提出解法，但魏尔斯特拉斯指出其漏洞。直到1900年，希尔伯特才严格证明解的存在性，其依赖于区域边界的光滑性和边界函数的性质。
唯一性：通过极值原理（Maximum Principle）可证明调和函数的解是唯一的。

求解方法

分离变量法：适用于规则区域（如矩形、圆域）。例如，对矩形区域 ( D = [0,l] times [0,L] )，通过分离变量 ( u(x,y) = X(x)Y(y) ) 并代入方程，得到特征函数叠加形式的解。
格林函数法：对一般区域，解可表示为边界积分： $$ u(x) = int_{partial D} G(x,y) frac{partial u}{partial n} , ds, $$ 其中 ( G(x,y) ) 是区域的格林函数。

历史背景

由数学家彼得·古斯塔夫·狄利克雷提出（19世纪），最初用于电势理论，即通过电荷分布确定电势分布。
希尔伯特的工作（20世纪初）完善了存在性证明，成为现代偏微分方程理论的基石之一。

应用领域

物理学：静电学中的电势分布、热传导的稳态温度场。
工程学：流体力学、结构力学中的平衡态问题。

扩展说明

狄利克雷问题与诺伊曼问题（Neumann problem，给定边界导数）共同构成椭圆型方程的两大类边值问题。其研究推动了调和分析、泛函分析等领域的发展。

如需更详细数学推导或应用案例，可参考偏微分方程教材或相关物理文献。