半定矩阵英文解释翻译、半定矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 semidefinite matrix

分词翻译：

半的英语翻译：

half; in the middle; semi-
【计】 semi
【医】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【经】 quasi

定的英语翻译：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

半定矩阵（semidefinite matrix）是线性代数与矩阵理论中的重要概念，通常分为半正定矩阵（positive semidefinite matrix）和半负定矩阵（negative semidefinite matrix）。其核心定义为：对于实对称矩阵$A$，若任意非零向量$mathbf{x} in mathbb{R}^n$满足二次型$mathbf{x}^T A mathbf{x} geq 0$，则称$A$为半正定矩阵；若满足$mathbf{x}^T A mathbf{x} leq 0$，则称为半负定矩阵。数学上，半正定矩阵的特征值均为非负数，而半负定矩阵的特征值均为非正数，这一性质在矩阵分解（如谱分解）中具有关键作用。

在应用层面，半定矩阵广泛应用于优化理论、控制系统分析和量子力学等领域。例如，在凸优化中，半正定规划（SDP）是一类重要的优化问题，其约束条件涉及半正定性。此外，量子力学中的密度矩阵必须满足半正定性，以描述物理系统的合法量子态。

权威数学文献如《线性代数及其应用》（Gilbert Strang 著）和《矩阵分析》（Roger A. Horn 著）均对半定矩阵的定义与性质进行了系统阐述。相关研究还可参考数学百科全书MathWorld及学术期刊《SIAM Review》中的矩阵理论专题综述。

网络扩展解释

半定矩阵通常指半正定矩阵（Positive Semi-Definite Matrix），以下是详细解释：

1.定义

半正定矩阵是实对称矩阵的一种，需满足以下条件：

对于任意非零实向量 ( x )，有 ( x^T A x geq 0 ) 。
所有特征值均不小于零（即 (lambda_i geq 0)）。

2.与正定矩阵的区别

正定矩阵要求 ( x^T A x > 0 )（严格大于零）且所有特征值大于零。
半正定矩阵允许 ( x^T A x = 0 ) 的情况，即存在零特征值，矩阵可能非满秩。

3.判别方法

主子式判别：所有主子式（不仅是顺序主子式）非负。
（注：仅顺序主子式非负无法保证半正定性，需全部主子式非负）
特征值判别：通过计算矩阵特征值，若均非负则为半正定。

4.性质与应用

半正定矩阵在优化、统计学（如协方差矩阵）和机器学习中广泛应用。
若矩阵半正定，其平方根存在，即存在矩阵 ( B ) 使得 ( A = B^T B )。

5.示例

单位矩阵 ( I ) 是正定矩阵（也属于半正定）。
矩阵 ( begin{pmatrix}1 & 11 & 1end{pmatrix} ) 是半正定，因特征值为0和2，且 ( x^T A x = (x_1 + x_2) geq 0 )。

如需进一步了解判别方法或具体应用场景，可参考来源中的数学博客或教材。