半定矩陣英文解釋翻譯、半定矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 semidefinite matrix

分詞翻譯：

半的英語翻譯：

half; in the middle; semi-
【計】 semi
【醫】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【經】 quasi

定的英語翻譯：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

半定矩陣（semidefinite matrix）是線性代數與矩陣理論中的重要概念，通常分為半正定矩陣（positive semidefinite matrix）和半負定矩陣（negative semidefinite matrix）。其核心定義為：對于實對稱矩陣$A$，若任意非零向量$mathbf{x} in mathbb{R}^n$滿足二次型$mathbf{x}^T A mathbf{x} geq 0$，則稱$A$為半正定矩陣；若滿足$mathbf{x}^T A mathbf{x} leq 0$，則稱為半負定矩陣。數學上，半正定矩陣的特征值均為非負數，而半負定矩陣的特征值均為非正數，這一性質在矩陣分解（如譜分解）中具有關鍵作用。

在應用層面，半定矩陣廣泛應用于優化理論、控制系統分析和量子力學等領域。例如，在凸優化中，半正定規劃（SDP）是一類重要的優化問題，其約束條件涉及半正定性。此外，量子力學中的密度矩陣必須滿足半正定性，以描述物理系統的合法量子态。

權威數學文獻如《線性代數及其應用》（Gilbert Strang 著）和《矩陣分析》（Roger A. Horn 著）均對半定矩陣的定義與性質進行了系統闡述。相關研究還可參考數學百科全書MathWorld及學術期刊《SIAM Review》中的矩陣理論專題綜述。

網絡擴展解釋

半定矩陣通常指半正定矩陣（Positive Semi-Definite Matrix），以下是詳細解釋：

1.定義

半正定矩陣是實對稱矩陣的一種，需滿足以下條件：

對于任意非零實向量 ( x )，有 ( x^T A x geq 0 ) 。
所有特征值均不小于零（即 (lambda_i geq 0)）。

2.與正定矩陣的區别

正定矩陣要求 ( x^T A x > 0 )（嚴格大于零）且所有特征值大于零。
半正定矩陣允許 ( x^T A x = 0 ) 的情況，即存在零特征值，矩陣可能非滿秩。

3.判别方法

主子式判别：所有主子式（不僅是順序主子式）非負。
（注：僅順序主子式非負無法保證半正定性，需全部主子式非負）
特征值判别：通過計算矩陣特征值，若均非負則為半正定。

4.性質與應用

半正定矩陣在優化、統計學（如協方差矩陣）和機器學習中廣泛應用。
若矩陣半正定，其平方根存在，即存在矩陣 ( B ) 使得 ( A = B^T B )。

5.示例

單位矩陣 ( I ) 是正定矩陣（也屬于半正定）。
矩陣 ( begin{pmatrix}1 & 11 & 1end{pmatrix} ) 是半正定，因特征值為0和2，且 ( x^T A x = (x_1 + x_2) geq 0 )。

如需進一步了解判别方法或具體應用場景，可參考來源中的數學博客或教材。