递降阶乘英文解释翻译、递降阶乘的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 falling factorial

分词翻译：

递的英语翻译：

give; hand over; pass; in the proper order; successively

降的英语翻译：

capitulate; drop; fall; lower; subdue; surrender; tame
【化】 nor-
【医】 nor-

阶乘的英语翻译：

factorial
【计】 factorial

专业解析

递降阶乘（Falling Factorial）是组合数学中的核心概念，中文又称“下降阶乘”，英文对应术语为 "falling factorial" 或 "descending factorial"，数学符号通常写作 $(x)_n$ 或 $x^{underline{n}}$。其定义为从实数 $x$ 开始连续递减的 $n$ 个整数相乘：

$$ (x)_n = x(x-1)(x-2)cdots(x-n+1) $$

关键特性与应用

排列数公式
递降阶乘直接对应排列数计算，例如从 $x$ 个元素中选取 $n$ 个的排列数为： $$ P(x,n) = (x)_n $$ 该公式在密码学排列组合问题中广泛应用。
多项式展开基础
在差分运算和特殊多项式（如牛顿插值公式）中，递降阶乘用于构建多项式基底。例如： $$ (t)_n = t(t-1)(t-2)cdots(t-n+1) $$
与Gamma函数关联
通过Gamma函数可将递降阶乘推广到复数域： $$ (x)_n = frac{Gamma(x+1)}{Gamma(x-n+1)} $$

权威参考文献

数学符号标准：Graham, R. L. 等学者在《具体数学》中定义了下降阶乘的符号体系（Cambridge University Press, 1994）
组合学应用：K. P. Bogart 在《组合数学导论》中阐释了递降阶乘与排列生成的关系（Springer, 2000）
特殊函数扩展：NIST《数学函数手册》第5章详述了其与超几何函数的关系（nist.gov/digital-library）

注：实际引用时建议替换为可公开访问的权威文献链接，例如MathWorld或Cambridge Core的永久DOI链接。

网络扩展解释

递降阶乘（Falling Factorial）是组合数学中的一个重要概念，通常用符号 ( x^{underline{n}} ) 或 ( (x)_n ) 表示。其定义为从基数 ( x ) 开始连续乘以 ( n ) 个递减的自然数：

$$ x^{underline{n}} = x cdot (x-1) cdot (x-2) cdots (x-n+1) $$

核心特性

数学表达式
展开形式为：
$$ x^{underline{n}} = prod_{k=0}^{n-1} (x - k) $$
例如，( 5^{underline{3}} = 5 times 4 times 3 = 60 )。
与排列的关系
递降阶乘直接对应排列数公式 ( P(n, k) = n^{underline{k}} )，表示从 ( n ) 个元素中选取 ( k ) 个进行有序排列的方案数。
特殊值
- 当 ( n=0 ) 时，定义 ( x^{underline{0}} = 1 )（类似 ( 0! = 1 )）。
- 当 ( n > x ) 且 ( x ) 为非负整数时，结果为 0（如 ( 3^{underline{5}} = 0 )）。

应用场景

组合计数：计算排列、组合问题时简化公式推导。
多项式展开：在差分运算和特殊多项式（如牛顿插值公式）中出现。
概率生成函数：用于描述离散概率分布的特性。

对比上升阶乘

递降阶乘的相反概念是上升阶乘（Rising Factorial），记为 ( x^{overline{n}} )，定义为 ( x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) )。两者在超几何函数等高级数学工具中常同时出现。