遞降階乘英文解釋翻譯、遞降階乘的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 falling factorial

分詞翻譯：

遞的英語翻譯：

give; hand over; pass; in the proper order; successively

降的英語翻譯：

capitulate; drop; fall; lower; subdue; surrender; tame
【化】 nor-
【醫】 nor-

階乘的英語翻譯：

factorial
【計】 factorial

專業解析

遞降階乘（Falling Factorial）是組合數學中的核心概念，中文又稱“下降階乘”，英文對應術語為 "falling factorial" 或 "descending factorial"，數學符號通常寫作 $(x)_n$ 或 $x^{underline{n}}$。其定義為從實數 $x$ 開始連續遞減的 $n$ 個整數相乘：

$$ (x)_n = x(x-1)(x-2)cdots(x-n+1) $$

關鍵特性與應用

排列數公式
遞降階乘直接對應排列數計算，例如從 $x$ 個元素中選取 $n$ 個的排列數為： $$ P(x,n) = (x)_n $$ 該公式在密碼學排列組合問題中廣泛應用。
多項式展開基礎
在差分運算和特殊多項式（如牛頓插值公式）中，遞降階乘用于構建多項式基底。例如： $$ (t)_n = t(t-1)(t-2)cdots(t-n+1) $$
與Gamma函數關聯
通過Gamma函數可将遞降階乘推廣到複數域： $$ (x)_n = frac{Gamma(x+1)}{Gamma(x-n+1)} $$

權威參考文獻

數學符號标準：Graham, R. L. 等學者在《具體數學》中定義了下降階乘的符號體系（Cambridge University Press, 1994）
組合學應用：K. P. Bogart 在《組合數學導論》中闡釋了遞降階乘與排列生成的關系（Springer, 2000）
特殊函數擴展：NIST《數學函數手冊》第5章詳述了其與超幾何函數的關系（nist.gov/digital-library）

注：實際引用時建議替換為可公開訪問的權威文獻鍊接，例如MathWorld或Cambridge Core的永久DOI鍊接。

網絡擴展解釋

遞降階乘（Falling Factorial）是組合數學中的一個重要概念，通常用符號 ( x^{underline{n}} ) 或 ( (x)_n ) 表示。其定義為從基數 ( x ) 開始連續乘以 ( n ) 個遞減的自然數：

$$ x^{underline{n}} = x cdot (x-1) cdot (x-2) cdots (x-n+1) $$

核心特性

數學表達式
展開形式為：
$$ x^{underline{n}} = prod_{k=0}^{n-1} (x - k) $$
例如，( 5^{underline{3}} = 5 times 4 times 3 = 60 )。
與排列的關系
遞降階乘直接對應排列數公式 ( P(n, k) = n^{underline{k}} )，表示從 ( n ) 個元素中選取 ( k ) 個進行有序排列的方案數。
特殊值
- 當 ( n=0 ) 時，定義 ( x^{underline{0}} = 1 )（類似 ( 0! = 1 )）。
- 當 ( n > x ) 且 ( x ) 為非負整數時，結果為 0（如 ( 3^{underline{5}} = 0 )）。

應用場景

組合計數：計算排列、組合問題時簡化公式推導。
多項式展開：在差分運算和特殊多項式（如牛頓插值公式）中出現。
概率生成函數：用于描述離散概率分布的特性。

對比上升階乘

遞降階乘的相反概念是上升階乘（Rising Factorial），記為 ( x^{overline{n}} )，定義為 ( x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) )。兩者在超幾何函數等高級數學工具中常同時出現。