导数矩阵英文解释翻译、导数矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Jacobian matrix

分词翻译：

导的英语翻译：

guide; lead; teach; transmit
【医】 guidance; guide

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

在汉英数学术语对照中，"导数矩阵"对应的英文为Derivative Matrix或Jacobian Matrix，是多元微积分中的核心概念。其定义为：对于一个向量值函数$mathbf{f}: mathbb{R}^n to mathbb{R}^m$，其导数矩阵是由所有一阶偏导数构成的$m times n$矩阵，用于描述函数在每个自变量方向上的局部线性逼近。

数学定义与结构

若函数$mathbf{f}(mathbf{x}) = [f_1(x_1,...,x_n), ..., f_m(x_1,...,x_n)]^T$，则其导数矩阵可表示为： $$ J = begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_1}{partial x_n} vdots & ddots & vdots frac{partial f_m}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_m}{partial xn} end{bmatrix} $$ 该矩阵的每个元素$J{ij}$代表第$i$个输出变量对第$j$个输入变量的偏导数。

应用场景

非线性系统分析：在控制理论中，雅可比矩阵用于线性化非线性微分方程，分析系统稳定性。
优化算法：机器学习中的梯度下降法依赖导数矩阵计算损失函数的下降方向。
坐标变换：物理学中描述极坐标、球坐标等变换时的尺度因子由雅可比行列式推导得出。

权威参考

数学定义部分引自《Thomas' Calculus》第14章（高等教育出版社，2020）。
工程应用参考了MIT公开课《Multivariable Calculus》Lecture 18（ocw.mit.edu）。
机器学习扩展内容基于Goodfellow《Deep Learning》第4.3节（MIT Press）。

网络扩展解释

在数学和多元微积分中，"导数矩阵"通常指雅可比矩阵（Jacobian Matrix），它是描述多变量向量值函数一阶导数的重要工具。以下是详细解释：

1. 定义

雅可比矩阵是一个由一阶偏导数组成的矩阵，用于表示一个从$mathbb{R}^n$映射到$mathbb{R}^m$的向量值函数$mathbf{F}(mathbf{x})$的局部线性近似。其形式为： $$ J = begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_1}{partial x_n} vdots & ddots & vdots frac{partial f_m}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_m}{partial x_n} end{bmatrix} $$ 其中，$mathbf{F} = [f_1, f_2, dots, f_m]^T$，$mathbf{x} = [x_1, x_2, dots, x_n]^T$。

2. 核心作用

多变量导数推广：将单变量导数推广到高维空间，描述函数在各输入变量方向的变化率。
线性变换：在点$mathbf{x}_0$处，雅可比矩阵是函数$mathbf{F}$的最佳线性近似，即$mathbf{F}(mathbf{x}) approx mathbf{F}(mathbf{x}_0) + J(mathbf{x}_0)(mathbf{x} - mathbf{x}_0)$。
方向导数计算：通过矩阵乘法计算任意方向$mathbf{v}$的方向导数：$D_{mathbf{v}} mathbf{F} = J cdot mathbf{v}$。

3. 示例

设函数$mathbf{F}(x, y, z) = [x + y, sin(z), xy]$，其雅可比矩阵为： $$ J = begin{bmatrix} 2x & 1 & 0 0 & 0 & cos(z) y & x & 0 end{bmatrix} $$

4. 与梯度的关系

梯度是标量函数$f(mathbf{x})$的导数，为行向量$ abla f = left[frac{partial f}{partial x_1}, dots, frac{partial f}{partial x_n}right]$。
雅可比矩阵是梯度向量的推广：当$mathbf{F}$为标量函数时，雅可比矩阵退化为梯度的转置（即行向量变为列向量）。

5. 应用领域

优化算法：如牛顿法中用于求解方程组。
机器学习：神经网络反向传播时计算参数更新。
物理与工程：描述流体力学、机器人运动学中的变换关系。

如果需要进一步了解具体计算或应用场景，可以提供更多上下文，我会补充说明。