導數矩陣英文解釋翻譯、導數矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Jacobian matrix

分詞翻譯：

導的英語翻譯：

guide; lead; teach; transmit
【醫】 guidance; guide

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

在漢英數學術語對照中，"導數矩陣"對應的英文為Derivative Matrix或Jacobian Matrix，是多元微積分中的核心概念。其定義為：對于一個向量值函數$mathbf{f}: mathbb{R}^n to mathbb{R}^m$，其導數矩陣是由所有一階偏導數構成的$m times n$矩陣，用于描述函數在每個自變量方向上的局部線性逼近。

數學定義與結構

若函數$mathbf{f}(mathbf{x}) = [f_1(x_1,...,x_n), ..., f_m(x_1,...,x_n)]^T$，則其導數矩陣可表示為： $$ J = begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_1}{partial x_n} vdots & ddots & vdots frac{partial f_m}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_m}{partial xn} end{bmatrix} $$ 該矩陣的每個元素$J{ij}$代表第$i$個輸出變量對第$j$個輸入變量的偏導數。

應用場景

非線性系統分析：在控制理論中，雅可比矩陣用于線性化非線性微分方程，分析系統穩定性。
優化算法：機器學習中的梯度下降法依賴導數矩陣計算損失函數的下降方向。
坐标變換：物理學中描述極坐标、球坐标等變換時的尺度因子由雅可比行列式推導得出。

權威參考

數學定義部分引自《Thomas' Calculus》第14章（高等教育出版社，2020）。
工程應用參考了MIT公開課《Multivariable Calculus》Lecture 18（ocw.mit.edu）。
機器學習擴展内容基于Goodfellow《Deep Learning》第4.3節（MIT Press）。

網絡擴展解釋

在數學和多元微積分中，"導數矩陣"通常指雅可比矩陣（Jacobian Matrix），它是描述多變量向量值函數一階導數的重要工具。以下是詳細解釋：

1. 定義

雅可比矩陣是一個由一階偏導數組成的矩陣，用于表示一個從$mathbb{R}^n$映射到$mathbb{R}^m$的向量值函數$mathbf{F}(mathbf{x})$的局部線性近似。其形式為： $$ J = begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_1}{partial x_n} vdots & ddots & vdots frac{partial f_m}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_m}{partial x_n} end{bmatrix} $$ 其中，$mathbf{F} = [f_1, f_2, dots, f_m]^T$，$mathbf{x} = [x_1, x_2, dots, x_n]^T$。

2. 核心作用

多變量導數推廣：将單變量導數推廣到高維空間，描述函數在各輸入變量方向的變化率。
線性變換：在點$mathbf{x}_0$處，雅可比矩陣是函數$mathbf{F}$的最佳線性近似，即$mathbf{F}(mathbf{x}) approx mathbf{F}(mathbf{x}_0) + J(mathbf{x}_0)(mathbf{x} - mathbf{x}_0)$。
方向導數計算：通過矩陣乘法計算任意方向$mathbf{v}$的方向導數：$D_{mathbf{v}} mathbf{F} = J cdot mathbf{v}$。

3. 示例

設函數$mathbf{F}(x, y, z) = [x + y, sin(z), xy]$，其雅可比矩陣為： $$ J = begin{bmatrix} 2x & 1 & 0 0 & 0 & cos(z) y & x & 0 end{bmatrix} $$

4. 與梯度的關系

梯度是标量函數$f(mathbf{x})$的導數，為行向量$ abla f = left[frac{partial f}{partial x_1}, dots, frac{partial f}{partial x_n}right]$。
雅可比矩陣是梯度向量的推廣：當$mathbf{F}$為标量函數時，雅可比矩陣退化為梯度的轉置（即行向量變為列向量）。

5. 應用領域

優化算法：如牛頓法中用于求解方程組。
機器學習：神經網絡反向傳播時計算參數更新。
物理與工程：描述流體力學、機器人運動學中的變換關系。

如果需要進一步了解具體計算或應用場景，可以提供更多上下文，我會補充說明。