乘积法则英文解释翻译、乘积法则的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 product rule

分词翻译：

乘积的英语翻译：

product

法则的英语翻译：

law; theorem
【经】 law

专业解析

在数学分析领域，乘积法则（Product Rule）是微积分中用于计算两个可导函数乘积导数的核心运算规则，英文标准定义为："The derivative of a product of two functions is the derivative of the first times the second plus the first times the derivative of the second"。该法则由德国数学家莱布尼茨于17世纪提出，是微分学四大基本法则之一。

其数学表达式可表述为： $$ frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$ 该公式表明，任意两个可导函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。这个法则在工程技术、物理建模和经济学分析中具有广泛应用，例如计算变化率、优化问题等场景。

牛津大学数学系在其微积分课程中指出，乘积法则的严格证明需要借助极限定义，通过构造增量表达式： $$ lim_{h to 0} frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $$ 再结合加减项技巧完成推导。这种严谨的数学推导过程确保了法则在理论体系中的可靠性。

根据剑桥大学出版社《高等数学》教材的说明，掌握乘积法则需要特别注意其与链式法则、商法则的配合使用。典型应用案例包括计算多项式函数的导数、处理指数函数与三角函数的乘积等。美国数学协会(AMS)的研究数据显示，该法则是构建复杂微分方程模型的重要基础工具。

网络扩展解释

乘积法则（Product Rule）是微积分中用于求两个函数乘积的导数的基本法则。以下为详细解释：

定义

若有两个可导函数 ( u(x) ) 和 ( v(x) )，它们的乘积 ( u(x)v(x) ) 的导数为： $$ frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ 即导数 = 第一个函数的导数×第二个函数 + 第一个函数×第二个函数的导数。

应用场景

当需要计算两个函数相乘后的导数时使用，例如：

示例：求 ( f(x) = x sin x ) 的导数。
- 设 ( u(x) = x )，( v(x) = sin x )，则：
- ( f'(x) = (x)' sin x + x (sin x)' = 2x sin x + x cos x )。

直观理解

几何意义：乘积法则反映了两个函数同时变化时对整体变化率的贡献，即“各自变化的部分相加”。
类比解释：想象扩大一个长方形的面积，需要同时考虑长和宽的变化对面积的共同影响。

注意事项

适用条件：仅当两个函数在求导点均可导时才成立。
扩展形式：若有三个函数相乘（如 ( uvw )），可多次应用乘积法则： $$ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' $$

与其他法则的关系

与链式法则配合使用，可处理复合函数与乘积混合的情况。
在积分中，乘积法则对应分部积分法。

如果需进一步了解具体推导或应用场景，建议结合教材例题练习以加深理解。