乘積法則英文解釋翻譯、乘積法則的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 product rule

分詞翻譯：

乘積的英語翻譯：

product

法則的英語翻譯：

law; theorem
【經】 law

專業解析

在數學分析領域，乘積法則（Product Rule）是微積分中用于計算兩個可導函數乘積導數的核心運算規則，英文标準定義為："The derivative of a product of two functions is the derivative of the first times the second plus the first times the derivative of the second"。該法則由德國數學家萊布尼茨于17世紀提出，是微分學四大基本法則之一。

其數學表達式可表述為： $$ frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$ 該公式表明，任意兩個可導函數乘積的導數等于第一個函數的導數乘以第二個函數，再加上第一個函數乘以第二個函數的導數。這個法則在工程技術、物理建模和經濟學分析中具有廣泛應用，例如計算變化率、優化問題等場景。

牛津大學數學系在其微積分課程中指出，乘積法則的嚴格證明需要借助極限定義，通過構造增量表達式： $$ lim_{h to 0} frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $$ 再結合加減項技巧完成推導。這種嚴謹的數學推導過程确保了法則在理論體系中的可靠性。

根據劍橋大學出版社《高等數學》教材的說明，掌握乘積法則需要特别注意其與鍊式法則、商法則的配合使用。典型應用案例包括計算多項式函數的導數、處理指數函數與三角函數的乘積等。美國數學協會(AMS)的研究數據顯示，該法則是構建複雜微分方程模型的重要基礎工具。

網絡擴展解釋

乘積法則（Product Rule）是微積分中用于求兩個函數乘積的導數的基本法則。以下為詳細解釋：

定義

若有兩個可導函數 ( u(x) ) 和 ( v(x) )，它們的乘積 ( u(x)v(x) ) 的導數為： $$ frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ 即導數 = 第一個函數的導數×第二個函數 + 第一個函數×第二個函數的導數。

應用場景

當需要計算兩個函數相乘後的導數時使用，例如：

示例：求 ( f(x) = x sin x ) 的導數。
- 設 ( u(x) = x )，( v(x) = sin x )，則：
- ( f'(x) = (x)' sin x + x (sin x)' = 2x sin x + x cos x )。

直觀理解

幾何意義：乘積法則反映了兩個函數同時變化時對整體變化率的貢獻，即“各自變化的部分相加”。
類比解釋：想象擴大一個長方形的面積，需要同時考慮長和寬的變化對面積的共同影響。

注意事項

適用條件：僅當兩個函數在求導點均可導時才成立。
擴展形式：若有三個函數相乘（如 ( uvw )），可多次應用乘積法則： $$ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' $$

與其他法則的關系

與鍊式法則配合使用，可處理複合函數與乘積混合的情況。
在積分中，乘積法則對應分部積分法。

如果需進一步了解具體推導或應用場景，建議結合教材例題練習以加深理解。