车比雪夫不等式英文解释翻译、车比雪夫不等式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【电】 Chebyshev inequality

分词翻译：

车的英语翻译：

gharry; machine; vehicle
【经】 book for; half fare

比的英语翻译：

compare; compete; ratio; than
【医】 proportion; ratio
【经】 Benelux; benelux customs union; benelux economic union

雪的英语翻译：

avenge; wipe out; snow

夫的英语翻译：

goodman; husband; sister-in-law

不等式的英语翻译：

inequality
【计】 inequality; inequivalence
【化】 inequality

专业解析

车比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality），是概率论与统计学中的一项基础性定理，描述了随机变量偏离其均值的程度与其概率之间的关系。以下从汉英词典角度对其详细解释：

一、数学定义与表述

中文表述 (Chinese Definition): 设随机变量 (X) 具有有限的期望值（均值）(mu) 和有限的非零方差 (sigma)。则对于任意实数 (k > 0)，随机变量 (X) 的值落在均值 (mu) 的 (k) 个标准差范围之外的概率至多为 (1/k)。其数学表达式为： $$ P(|X - mu| geq ksigma) leq frac{1}{k} $$ 等价地，随机变量 (X) 的值落在均值 (mu) 的 (k) 个标准差范围之内的概率至少为 (1 - 1/k)： $$ P(|X - mu| < ksigma) geq 1 - frac{1}{k} $$
英文表述 (English Definition): Let (X) be a random variable with finite expected value (mu) and finite non-zero variance (sigma). Then for any real number (k > 0), the probability that (X) deviates from its mean (mu) by more than (k) standard deviations is at most (1/k). Mathematically: $$ P(|X - mu| geq ksigma) leq frac{1}{k} $$ Equivalently, the probability that (X) lies within (k) standard deviations of its mean is at least (1 - 1/k): $$ P(|X - mu| < ksigma) geq 1 - frac{1}{k} $$

二、核心意义与作用

概率上界 (Probability Bound): 该不等式给出了随机变量取值偏离其均值超过一定范围的概率的上限。它表明，无论随机变量的具体分布形式如何（只要方差有限），其取值远离均值的概率是有限的，并且随着偏离程度（(ksigma)）的增大，这个概率上限会迅速减小（以 (1/k) 的速度）。
弱大数定律基础 (Foundation of Weak Law of Large Numbers): 车比雪夫不等式是证明弱大数定律的关键工具之一。弱大数定律指出，随着样本量增大，样本均值依概率收敛于总体均值。
应用广泛 (Wide Applicability): 其优势在于对随机变量的分布没有任何特定要求（如正态分布），仅需知道其均值和方差（存在且有限）即可应用。这使得它在理论推导和实际应用中非常有用，例如：
- 估计数据落在特定范围内的比例。
- 证明某些统计量的一致性。
- 在质量控制中设定界限。

三、名称来源

中文名 (Chinese Name): 车比雪夫不等式 (Chēbǐxuěfū Bùděngshì)
英文名 (English Name): Chebyshev's Inequality
命名 (Named After): 该不等式以俄罗斯数学家帕夫努季·利沃维奇·车比雪夫 (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894) 的名字命名。车比雪夫在概率论、统计学、数论和力学等多个数学领域做出了重大贡献。他于1867年首次证明了这个不等式。有时也写作 Tchebycheff's 或 Tchebysheff's Inequality。

参考资料 (References):

Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson. (Chapter 8 discusses inequalities including Chebyshev's)
MIT OpenCourseWare. Introduction to Probability and Statistics. Lecture notes on Inequalities and Limit Theorems typically cover Chebyshev's Inequality.
Khan Academy. Statistics and Probability. Sections on "Describing and comparing distributions" often introduce Chebyshev's theorem.
《中国大百科全书》数学卷或概率论与数理统计相关词条。
Weisstein, Eric W. "Chebyshev Inequality." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (Provides a concise mathematical definition and context)

网络扩展解释

车比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）是概率论和统计学中的一个重要定理，用于估计随机变量偏离其均值的概率。以下是详细解释：

1. 数学定义

对于任意随机变量$X$，若其期望值$mu = E(X)$和方差$sigma = D(X)$存在，则对任意正数$varepsilon > 0$，有： $$ Pleft( |X - mu| geq varepsilon right) leq frac{sigma}{varepsilon} $$

解读：该不等式表明，随机变量$X$偏离其均值$mu$超过$varepsilon$的概率，不会超过方差$sigma$与$varepsilon$的比值。

2. 直观意义

普适性：适用于任何分布（无论正态、偏态等），仅需均值和方差存在。
边界估计：提供概率的上界，例如当$varepsilon = ksigma$时，公式可简化为： $$ Pleft( |X - mu| geq ksigma right) leq frac{1}{k} $$ 即数据偏离均值超过$k$倍标准差的概率至多为$1/k$。

3. 应用场景

风险评估：在金融、工程等领域，估计极端事件发生的概率。
统计推断：用于证明大数定律，说明样本均值依概率收敛于总体均值。
数据分布分析：当分布未知时，提供保守的概率估计。

4. 局限性

保守性：实际概率通常远小于不等式给出的上界（如正态分布中，$k=2$时实际概率约5%，但上界为25%）。
依赖方差：若方差过大，估计结果可能失去参考价值。

示例

假设某随机变量$X$的均值$mu=50$，方差$sigma=25$，则$X$偏离均值超过10的概率为： $$ P(|X-50| geq 10) leq frac{25}{10} = 0.25 $$ 即实际概率不超过25%。

与其他不等式的关系

排序不等式：代数中的车比雪夫不等式（正序积和最大）是另一形式，与概率版本无直接关联。
马尔可夫不等式：车比雪夫不等式是其特例（取$g(X)=(X-mu)$）。

如需进一步了解证明或具体应用，可参考统计学教材或相关数学资料。