車比雪夫不等式英文解釋翻譯、車比雪夫不等式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 Chebyshev inequality

分詞翻譯：

車的英語翻譯：

gharry; machine; vehicle
【經】 book for; half fare

比的英語翻譯：

compare; compete; ratio; than
【醫】 proportion; ratio
【經】 Benelux; benelux customs union; benelux economic union

雪的英語翻譯：

avenge; wipe out; snow

夫的英語翻譯：

goodman; husband; sister-in-law

不等式的英語翻譯：

inequality
【計】 inequality; inequivalence
【化】 inequality

專業解析

車比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality），是概率論與統計學中的一項基礎性定理，描述了隨機變量偏離其均值的程度與其概率之間的關系。以下從漢英詞典角度對其詳細解釋：

一、數學定義與表述

中文表述 (Chinese Definition): 設隨機變量 (X) 具有有限的期望值（均值）(mu) 和有限的非零方差 (sigma)。則對于任意實數 (k > 0)，隨機變量 (X) 的值落在均值 (mu) 的 (k) 個标準差範圍之外的概率至多為 (1/k)。其數學表達式為： $$ P(|X - mu| geq ksigma) leq frac{1}{k} $$ 等價地，隨機變量 (X) 的值落在均值 (mu) 的 (k) 個标準差範圍之内的概率至少為 (1 - 1/k)： $$ P(|X - mu| < ksigma) geq 1 - frac{1}{k} $$
英文表述 (English Definition): Let (X) be a random variable with finite expected value (mu) and finite non-zero variance (sigma). Then for any real number (k > 0), the probability that (X) deviates from its mean (mu) by more than (k) standard deviations is at most (1/k). Mathematically: $$ P(|X - mu| geq ksigma) leq frac{1}{k} $$ Equivalently, the probability that (X) lies within (k) standard deviations of its mean is at least (1 - 1/k): $$ P(|X - mu| < ksigma) geq 1 - frac{1}{k} $$

二、核心意義與作用

概率上界 (Probability Bound): 該不等式給出了隨機變量取值偏離其均值超過一定範圍的概率的上限。它表明，無論隨機變量的具體分布形式如何（隻要方差有限），其取值遠離均值的概率是有限的，并且隨着偏離程度（(ksigma)）的增大，這個概率上限會迅速減小（以 (1/k) 的速度）。
弱大數定律基礎 (Foundation of Weak Law of Large Numbers): 車比雪夫不等式是證明弱大數定律的關鍵工具之一。弱大數定律指出，隨着樣本量增大，樣本均值依概率收斂于總體均值。
應用廣泛 (Wide Applicability): 其優勢在于對隨機變量的分布沒有任何特定要求（如正态分布），僅需知道其均值和方差（存在且有限）即可應用。這使得它在理論推導和實際應用中非常有用，例如：
- 估計數據落在特定範圍内的比例。
- 證明某些統計量的一緻性。
- 在質量控制中設定界限。

三、名稱來源

中文名 (Chinese Name): 車比雪夫不等式 (Chēbǐxuěfū Bùděngshì)
英文名 (English Name): Chebyshev's Inequality
命名 (Named After): 該不等式以俄羅斯數學家帕夫努季·利沃維奇·車比雪夫 (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894) 的名字命名。車比雪夫在概率論、統計學、數論和力學等多個數學領域做出了重大貢獻。他于1867年首次證明了這個不等式。有時也寫作 Tchebycheff's 或 Tchebysheff's Inequality。

參考資料 (References):

Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson. (Chapter 8 discusses inequalities including Chebyshev's)
MIT OpenCourseWare. Introduction to Probability and Statistics. Lecture notes on Inequalities and Limit Theorems typically cover Chebyshev's Inequality.
Khan Academy. Statistics and Probability. Sections on "Describing and comparing distributions" often introduce Chebyshev's theorem.
《中國大百科全書》數學卷或概率論與數理統計相關詞條。
Weisstein, Eric W. "Chebyshev Inequality." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (Provides a concise mathematical definition and context)

網絡擴展解釋

車比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）是概率論和統計學中的一個重要定理，用于估計隨機變量偏離其均值的概率。以下是詳細解釋：

1. 數學定義

對于任意隨機變量$X$，若其期望值$mu = E(X)$和方差$sigma = D(X)$存在，則對任意正數$varepsilon > 0$，有： $$ Pleft( |X - mu| geq varepsilon right) leq frac{sigma}{varepsilon} $$

解讀：該不等式表明，隨機變量$X$偏離其均值$mu$超過$varepsilon$的概率，不會超過方差$sigma$與$varepsilon$的比值。

2. 直觀意義

普適性：適用于任何分布（無論正态、偏态等），僅需均值和方差存在。
邊界估計：提供概率的上界，例如當$varepsilon = ksigma$時，公式可簡化為： $$ Pleft( |X - mu| geq ksigma right) leq frac{1}{k} $$ 即數據偏離均值超過$k$倍标準差的概率至多為$1/k$。

3. 應用場景

風險評估：在金融、工程等領域，估計極端事件發生的概率。
統計推斷：用于證明大數定律，說明樣本均值依概率收斂于總體均值。
數據分布分析：當分布未知時，提供保守的概率估計。

4. 局限性

保守性：實際概率通常遠小于不等式給出的上界（如正态分布中，$k=2$時實際概率約5%，但上界為25%）。
依賴方差：若方差過大，估計結果可能失去參考價值。

示例

假設某隨機變量$X$的均值$mu=50$，方差$sigma=25$，則$X$偏離均值超過10的概率為： $$ P(|X-50| geq 10) leq frac{25}{10} = 0.25 $$ 即實際概率不超過25%。

與其他不等式的關系

排序不等式：代數中的車比雪夫不等式（正序積和最大）是另一形式，與概率版本無直接關聯。
馬爾可夫不等式：車比雪夫不等式是其特例（取$g(X)=(X-mu)$）。

如需進一步了解證明或具體應用，可參考統計學教材或相關數學資料。